Un ejemplo de resolución de una ecuación polinómica en el conjunto de los números complejos

En este ejercicio voy a obtener los números reales y complejos que satisfacen la igualdad $x^5+x=0$, recurriendo a las propiedades básicas del álgebra.

  $x^5-x=0$
    $x\,(x^4-1)=0$
      $x\,((x^2)^2-1^2)=0$
        $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0$ , por la identidad $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$
Entonces,
  $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\,1 \\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,i \end{matrix} \right.$ Luego el conjunto pedido es $\{-1,0,1,-i,i\}$

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