Una ecuación que os causará sorpresas

Encaremos el siguiente reto (propio de Olimpiada Matemática), que consiste en intentar resolver la ecuación en el conjunto de los números complejos: $$1^x=2$$

Veamos, primero, que no es posible encontrar soluciones en el conjunto de los números reales. En efecto, podemos interpretar el miembro de la izquierda como la función real de una variable real: $f(x):=1^x=1 \,\forall, x\in \mathbb{R}$; es decir, es la función constante, con todas las ordenadas igual a $1$. Por otra parte, el segundo miembro, $g(x):=2$ es también una función constante, pero con todas las ordenadas igual a $2$. Es claro que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ no van a intersecarse, puesto que $1\neq 2$, luego la ecuación no tiene solución en $\mathbb{R}$.

Sin embargo, como enseguida vamos a ver, la ecuación planteada sí tiene solución en el conjunto de los números complejos. Para ello, vamos a recordar la fórmula de Euler: $$e^{i\,\theta}=\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta$$ siendo $\theta$ un ángulo en el plano complejo.

Entonces, démonos cuenta de que el $1$ de la base de la potencia $1^x$ del primer miembro puede escribirse de la forma $1=e^{i\,2k\pi}, \text{con}\;k\in \mathbb{Z}$. En consecuencia, la ecuación planteada, $1^x=2$, puede escribirse de la forma $$\displaystyle \left(e^{i\,2k\pi}\right)^x=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ que podemos escribir de la forma $$\displaystyle e^{i\,2k\,\pi\,x}=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ Operando con el logaritmo neperiano en cada miembro, $$\displaystyle \ln\,e^{i\,2k\,\pi\,x}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ y por tanto, $$\displaystyle i\,2k\,\pi\,x \cdot \underset{1}{\underbrace{\ln\,e}}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ en consecuencia, la solución consta de infinitos números complejos, con la siguiente estructura:
$$x=\dfrac{\ln\,2}{2k\,\pi\,i}=\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi\,i^2}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi};\text{donde}\; \mathbb{Z} \ni k \neq 0$$ esto es, $$\displaystyle x\in \left\{ \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{2\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{4\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{6\,\pi}, \ldots \right\}$$

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Algunas identidades notables, muy útiles tanto para realizar cálculos numéricos como para facilitar cálculos algebraicos:

Algunas identidades muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes) y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, y que es interesante tener en cuenta por la eficiencia en las tareas, son las siguientes: Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
5. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
6. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
7. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

Como decía, gracias al uso de las identidades algebraicas, algunas ecuaciones que imponen un poco por su aspecto, se resuelven con relativa facilidad; a modo de ejemplo, voy a utilizar la identidad [6] de la lista para resolver la siguiente ecuación polinómica: $$x^6+x^4+x^3+x=0$$ que, como vamos a ver, su solución contiene números complejos.

Comencemos:
  $x^6+x^4+x^3+x=0$
    $x\,(x^5+x^3+x^2+1=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \quad (1)\\ x^5+x^3+x^2+1=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$
De $(1)$ ya obtenemos un primer valor para la solución. Ahora, voy a intentar resolver la ecuación que nos ha quedado en $(2)$ para encontrar los otros valores de la solución:
  $x^5+x^3+x^2+1=0$
    $x^3\cdot x^2+x^3+x^2+1=0$
      $x^3\,(x^2+1)+(x^2+1)=0$
        $(x^2+1)\,(x^3+1)=0$
          $(x^2+1)\,(x^3+1^3)=0$
            $(x^2+1)\,(x+1)\,(x^2-1\cdot x^2+1^2)=0 \quad (3)$     (utilizando la identidad [6] para desarrollar el factor $x^2+1^3$)
La igualdad $(3)$ se cumple si y sólo si:
  $\left\{\begin{matrix}x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{-1}=\left\{\begin{matrix}i \quad (4)\\ -i \quad (5)\end{matrix}\right.\\x+1=0 \Leftrightarrow x=-1 \quad (6)\\x^2-x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{-3}}{2}=\dfrac{1\pm \sqrt{(-1)\cdot 3}}{2}=\dfrac{1\pm i\,\sqrt{3}}{2} \quad (7)\,\text{y}\,(8) \end{matrix}\right.$

Reuniendo los seis valores obtenidos $(1),(4),(5),(6),(7)\,\text{y}\,(8)$ —recordemos que, según el teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado $n$ con coeficientes reales ha de tener $n$ raíces reales complejas (incluyéndose en éstas las reales, esto es, las que su parte imaginaria es cero)—, podemos escribir la solución de la ecuación de sexto grado planteada: $$\displaystyle \left\{0,-1,i,-i,\dfrac{i+i\,\sqrt{3}}{2},\dfrac{i-i\,\sqrt{3}}{2}\right\}$$

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Desigualdades básicas entre los módulos de los números complejos que aparecen al sumarlos o restarlos

No se puede establecer una relación de orden en los números complejos y por tanto no tiene sentido plantearnos si uno es mayor o menor que otro; sin embargo, sí podemos comparar los módulos (se indica el módulo de un número complejo $z$ mediante la notación $|z|$) de los mismos, ya que el módulo de un número complejo es un número real.

Podéis comprobar que, para cualesquiera $z,w\in \mathbb{C}$, las siguientes relaciones son válidas:

1. $|z+w|\le |z|+|w|$ (esta desigualdad se conoce como desigualdad triangular, y es la análoga a la que ya conocéis para la suma de vectores)
2. $|z-w|\le |z|+|w|$
   En estas dos que siguen, el primer y último símbolo $|$ corresponde al valor absoluto del número real (véase (1)) que se obtiene al realizar la diferencia de los módulos de $w$ y $z$, $|z|-|w|\in \mathbb{R}$:
   
3. $|z+w|\ge ||z|-|w||$
4. $|z-w|\ge ||z|-|w||$

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Observación/comentario:

Estas mismas relaciones también son válidas en la recta de los números reales (en la que sí hay definida una relación de orden, y, por tanto puede establecerse la diferencia entre dos números reales cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$). En la versión de estas propiedades para los números reales, hay que tener en cuenta que, ahora, la notación $|.|$ indica siempre la operación valor absoluto: $$|x|:=\left\{\begin{matrix}x & \text{si} & x\ge 0 \\ -x & \text{si} & x\lt 0 \end{matrix}\right.\quad (1)$$

1. $|a+b|\le |a|+|b|$
2. $|a-b|\le |a|+|b|$
3. $|a+b|\ge ||a|-|b||$
4. $|a-b|\ge ||a|-|b||$

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Ecuaciones con soluciones complejas

Me he encontrado con esta ecuación trascendente $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=1$$ Voy a resolverla. Antes de empezar, observemos que $x$ ha de ser distinto de $0$, pues es evidente que de ser ésta $0$ se tendría que $\sqrt{0}+\sqrt{0}=0\neq 1$, que es una contradicción. Por otra parte, si $x\gt 0$, es claro que $\sqrt{x}\in \mathbb{R}$; pero, entonces $-x\lt 0$ y por tanto $\sqrt{-x}\in \mathbb{C}$, luego deberemos buscar la solución en el conjunto de los números complejos, $\mathbb{C}$. Dicho esto, comencemos con los pasos algebraicos necesarios para el despeje de la incógnita $x$.

  $\sqrt{x}=1-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(1-\sqrt{-x})^2$
      $x=1-2\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=1-2\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $x-(-x)=1-2\,\sqrt{-x}$
            $2x=1-2\,\sqrt{-x}$
              $2x-1=-2\,\sqrt{-x}$
                $(2x-1)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                  $4x^2-2\cdot 2x+1=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                    $4x^2-4x+1=4\,(-x)$
                      $4x^2-4x+1=-4x$
                        $4x^2-4x+4x+1=0$
                          $4x^2=-1$
                            $(2x)^2=-1$
                              $\sqrt{(2x)^2}=\pm\sqrt{-1}$
                                $2x=\pm i$
                                  $x=\pm \dfrac{1}{2}\,i$
Hemos encontrado pues dos valores: $x_1=\dfrac{1}{2}\,i$ y $x_2=-\dfrac{1}{2}\,i$, que, como candidatos a formar parte de la solución, debemos comprobar a continuación.

Comprobación:

El primer valor encontrado, $x_1=\dfrac{1}{2}\,i$, verifica la igualdad pedida. En efecto,
$\sqrt{\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-\dfrac{i}{2}}\overset{?}{=}1$
  $\sqrt{\dfrac{e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}}{2}}+\sqrt{\dfrac{e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}}{2}}=$
    $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( \left( e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\left( e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \right)$
        $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( e^{i\,\dfrac{\pi}{4}}+e^{-i\,\dfrac{\pi}{4}} \right)$
          $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( \left( \cos\,\dfrac{\pi}{4}+i\,\sin\,\dfrac{\pi}{4} \right)+\left( \cos\,\dfrac{-\pi}{4}+i\,\sin\,\dfrac{-\pi}{4} \right) \right)$
            $=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\,\cos\,\dfrac{\pi}{4})$
              $=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
                $=1$

Por otra parte, para el segundo valor encontrado, $x_2=-\dfrac{1}{2}\,i$, nos preguntamos si $\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-(-\dfrac{i}{2})}\overset{?}{=}1$. Veamos que así es; en efecto, $\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-(-\dfrac{i}{2})}=\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{\dfrac{i}{2}}=\sqrt{\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-\dfrac{i}{2}}=1$, tal como acabamos de comprobar para $x_1$.

Por consiguiente, ambos valores encontrados satisfacen la igualdad algebraica planteada (la ecuación), luego los dos forman parte de la solución. $\diamond$

Aplicación de los logaritmos a la descripción de las atenuaciones y ganancias de una señal de salida (de un dispositivo) con respecto al valor de la señal de entrada al mismo

La siguiente situación es típica en muchos problemas prácticos de electrónica, física, fisiología, en las que se compara el valor de una señal que sale de un sistema tomando como referencia el valor de la señal de entrada al mismo. En tales situaciones, suele producirse una amplificación o bien una reducción en el nivel de la señal, la cual se suele expresar en decibelios (abreviado $\text{dB}$). Espero que sea clarificador este sencillo ejemplo. Pongámonos en situación:

El valor $x_s$ de una señal de salida de un cierto dispositivo sufre una atenuación, siendo dicho valor el $10\,\%$ del valor de la señal de entrada $x_e$ a dicho dispositivo, ¿cuál es el valor en decibelios que corresponde a esta situación?

Se define la atenuación/ganancia (en decibelios) de una señal (puede tratarse de diversas magnitudes, por ejemplo: tensiones eléctricas, potencias, intensidad de sonido, etcétera) de salida de un cierto dispositivo en referencia a una señal de entrada al mismo, como la cantidad adimensional $10\,\log_{10}\,\dfrac{x_s}{x_e}$ (expresada en $\text{dB}$), tomando como referencia el valor de la señal de entrada $x_e$. En el caso que nos planteamos, tenemos una atenuación, pues $x_s \lt x_e$, luego como $x_s=0,1\cdot x_e$, con lo cual el valor de dicha atenuación (expresado en decibelios) es igual $10\,\log_{10}\,\dfrac{x_s}{x_e}=10\,\log_{10}\,\dfrac{0,1\,x_e}{x_e}=10\,\log_{10}\,0,1=10\,\log_{10}\, 10^{-1}=10\cdot (-1)\cdot \log_{10}\,10=10\cdot (-1)\cdot 1= -10\,\text{dB}$.

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Observación:

El valor negativo (en este caso) resultante indica precisamente que se trata de una atenuación; de haberse dado el caso de una ganancia (amplificación), el número de decibelios sería positivo. $\diamond$

Un ejercicio práctico de cambio de base logarítmica

En este artículo voy a mostraros cómo podemos expresar el logaritmo neperiano (en base el número trascendente $e=2,71828\ldots$) de $x$ (recordemos que $x$ ha de ser un número real mayor que $0$) con logaritmos de base $2$.

Ya hemos hablado de este asunto del cambio de base logarítmica en otras ocasiones; en este ejercicio me ha parecido sin embargo muy útil en tanto y cuanto nos podemos encontrar con alguno parecido cuando se tratan problemas sobre la cantidad de información en bits, en los que los logaritmos deben tener base $2$.

Designemos $t:=\ln\,x$, donde $\ln(.)$ denota el logaritmo en base $e$. Bien, entonces, por la propiedad fundamental de los logaritmos, sabemos que $x=e^t$; y, extrayendo logaritmos en base $2$ en cada miembro, llegamos a $\log_2\,x=\log_2\,e^t$, es decir, $t\,\log_2\,e=\log_{2}\,x \Rightarrow t=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$. En consecuencia, $$\ln\,x=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$$ $\diamond$

Utilidades de los logaritmos para comparar cantidades de la misma magnitud. Órdenes de magnitud

A menudo, nos pueden nos pueden surgir cuestiones del siguiente estilo:
Sean dos valores positivos de una misma magnitud: $x_1$ y $x_2$, con $x_1 \gt x_2$. Sabiendo que $\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_2}=k$, donde $k\gt 1$, por ser el numerador mayor que el denominador. Entonces, ¿en cuántos órdenes de magnitud es mayor $x_1$ que $x_2$?

De $\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_2}=k$ se deduce que $\dfrac{x_1}{x_2}=10^k$, esto es, $x_1= 10^k\,x_2$; es decir, $x_1$ es $10^k$ veces $x_1$, o dicho de otra forma: $x_1$ es $k$ ordenes de magnitud mayor que $x_2$. $\diamond$

Ejemplo de resolución de una ecuación trascendente sencillita

En este artículo voy a resolver la ecuación trascendente para $x\in \mathbb{R}$ $$x^x=1$$

Extrayendo logaritmos en cada miembro:
  $\ln(x^x)=\ln\,1$
    $x\,\ln(x)=\ln\,1$
      $x\,\ln(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ \ln\,x=0 \Leftrightarrow x=1\end{matrix}\right.$

Ahora debemos verificar estas dos posibles soluciones, sustituyéndolas en la misma para ver si se cumple que la cantidad del primer miembro sea igual a la del segundo:

Para $x=0$ vemos que el primer miembro es $0^0$, que es una ideterminación, y por tanto no podemos garantizar que sea igual al valor del segundo miembro, luego descartamos este valor, $0$, como solución.

Para $x=1$ se tiene que $1^1=1$, que es igual al valor $1$ del segundo miembro, luego este valor, $1$, sí es solución de la ecuación original.

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Observación:

Si el segundo miembro de la ecuación hubiese sido distinto de $1$, no podríamos haber encontrado una solución exacta, teniendo en tal caso que recurrir a métodos numéricos aproximados.

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Un ejercicio de comparación de números trascendentes

Sin utilizar la calculadora científica ni hacer ningún tipo de cálculo numérico, vamos a averiguar qué número es mayor, $\pi^e$ o $e^\pi$

Es claro que ambos números son mayores que $1$, y no son iguales. Para averiguar cuál es la respuesta a la pregunta, partamos del cociente $\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}$, que vamos a examinar en datalle a continuación.

Si $\pi^e \gt e^\pi$, dicho cociente tendrá que ser mayor que $1$; y, en caso contrario, dicho cociente debería ser menor que $1$. Veamos si se trata de una cosa u otra.

Para ello, tengamos en cuenta que todo número real positivo $a$ puede expresarse como $a=e^{\ln\,a}$, por lo que asignando $a:=\pi$, podemos escribir el cociente de la forma $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}}$$

Por otra parte, tengamos en cuenta que los puntos de la gráfica de la función $y=\ln\,x$ están todos por debajo de la gráfica de la función $y=x$ (las ordenadas de la primera son menores que las de la segunda); en efecto, las funciones $y=e^x$ e $y=\ln\,x$ son recíprocas una de la otra, esto es, la gráfica $y=\ln\,x$ es el reflejo de $e^x$ con respecto a la bisectriz del primer (y del tercer) cuadrante $y=x$, y viceversa. Entonces, podremos acotar el cociente; y, a partir de ahí, llegar fácilmente a la respuesta a la pregunta planteada: $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}} \le \dfrac{e\cdot e^\pi}{e^\pi}=e \gt 1 \Rightarrow \pi^e \gt e^\pi$$ $\diamond$

El uso de los logaritmos para describir el grado de acidez de una disolución acuosa. Cálculo de la concentración de protones, conocido el valor del $pH$ de la disolución

El pH de una disolución se define como el logaritmo decimal del inverso de la concentración molar de iones hidronio $[H_3\,O]^+$ (en $\dfrac{\text{mol}}{\text{L}}$), esto es $\text{pH}:=\log_{10}\,\dfrac{1}{[H_3\,O]^+}$, o lo que es lo mismo, $\text{pH}=-\log_{10}\,[H_3\,O]^+$. De los conocimientos que tenéis de Química, ya sabéis que un $\text{pH}$ por debajo de $7$ indica una disolución ácida; por encima de dicho valor indica una disolución básica (o alcalina), y un $\text{pH}$ igual a $7$ hace referencia a una disolución neutra.

Veamos un ejemplo de cómo calcular la concentración de iones hidronio (protones), conociendo el valor del $\text{pH}$ de la disolución. Pongamos que éste sea $\text{pH}=4,2$. Entonces, como $4,2=-\log_{10}\,[H_3\,O]^+$ (esto es, $-4,2=\log_{10}\,[H_3\,O]^+$) se tiene que $[H_3\,O]^+=-10^{4,2}\approx 6.026\times 10^{-5}\,\dfrac{\text{mol}}{\text{L}}$. $\diamond$

Acerca de los gráficos a escala logarítmica

Consideremos las dependencias funcionales tales que los valores que manejamos de las mismas sean tales que al menos los de una de las variables no varíe de manera más o menos regular. En tales casos, un recurso importante es el de hacer uso de los logaritmos en las representaciones, como es el caso de la escala (logarítmica) de Richter (sismología), o la escala (logarítmica) del pH (química), la descripción de atenuación/ganancia de una señal en decibelios (electrónica), la descripción de la variación de la sensibilidad auditiva, etcétera.

Pongamos un ejemplo sencillo, como es el de las magnitudes cuya relación funcional es exponencial, $y(x)=a^x \quad (1)$, donde $a\in \mathbb{R}$, pueden presentar algunos inconvenientes de índole práctica a la hora de realizar su representación gráfica; sin embargo, si graduamos los ejes según una escala logarítmica (un eje o ambos, según las necesidades; en este caso, sólo es necesario que lo hagamos con el de ordenadas, lo que denominamos escala semilogarítmica) tales inconvenientes se resuelven.

Este recurso también es muy útil a la hora de realizar regresiones estadísticas a partir de los puntos experimentales, pues algunos tipos, como el de ésta, se reducen a una regresión de tipo lineal.

En este ejemplo, esto equivale a tomar logaritmos (de la base, $b\in \mathbb{R}$, que mejor nos convenga) en cada miembro de (1): $\log_b\,y=x\,\log_b\,a$; entonces, denotando $t:=\log_b\,y$, podemos reescribir la dependencia (1) de la forma $t(x)=(\log_b\,a)\cdot x$, que es lineal. Notemos que $\log_b\,a$ es la constante que asociamos a la pendiente de la recta que, en el caso que comentamos, pasa por el origen de coordenadas. A la hora de realizar informes de laboratorio, este truquillo (para representar variaciones no regulares entre dos variables) es todavía más práctico si realizamos la gráfica de los puntos experimentales sobre papel logarítmico (en base decimal), que podemos adquirir fácilmente en una papelería. $\diamond$

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Créditos de los enlaces que aparecen como hiperenlaces en esta entrada de mi blog: Wikipedia

Algunos cálculos básicos con logaritmos a partir de las propiedades más importantes, sin hacer uso de la calculadora

¿Cuál es el valor de $\log_{0,1}\,0,01$ ? ¿y el de $\log_{0,1}\,100$? ¿y el de $\log_{\frac{1}{2}}\,2$?

$\log_{0,1}\,0,01=\log_{10^{-1}}\,10^{-2}=\log_{10^{-1}}\,(10^{-1})^2=2\,\log_{10^{-1}}\,10^{-1}=2\cdot 1=2$.

$\log_{0,1}\,100=\log_{10^{-1}}\,10^2=\log_{10^{-1}}\,(10^{-1})^{-2}=-2\,\log_{10^{-1}}\,10^{-1}=-2\cdot 1=-2$. $\diamond$

$\log_{\frac{1}{2}}\,2=\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=\log_{\frac{1}{2}}\,1-\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}\,\left( \dfrac{1}{2} \right)^0-\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{2}=0-1=-1$. $\diamond$

Hay que tener cuidado en no confundir algunas propiedades de los logaritmos por otras que son falsas

Sabemos que $\log_b\,m \cdot \log_b\,n \neq \log_b\,m+\log_b\,n$ y que $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} \neq \log_b\,m-\log_b\,n$ (recordemos que $b,m$ y $n$ son números reales positivos). Demostrémoslo mediante un contraejemplo.

Lo haremos por el método de contradicción (o reducción al absurdo) al tomar valores concretos para $b$, $m$ y $n$. Supongamos que sean ciertas: $\log_b\,m \cdot \log_b\,n = \log_b\,m+\log_b\,n$ y $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} = \log_b\,m-\log_b\,n$.

Bien, entonces tomemos, por ejemplo $b=10$, $m=1000$ y $n=100$, entonces $\log_{10}\,1000 \cdot \log_{10}\,100=\log_{10}\,10^3 \cdot \log_{10}\,10^2 = 3\cdot 2=6 \neq \log_{10}\,10^3+\log_{10}\,10^2=$
$=3\,\log_{10}\,10+2\,\log_{10}\,10=3\cdot 1 + 2\cdot 1=5$, que es una contradicción, luego la primera igualdad, $\log_b\,m \cdot \log_b\,n = \log_b\,m+\log_b\,n$, es falsa.

Con los mismos valores (otros cualesquiera también valdrían), $\dfrac{\log_{10}\,1000}{\\log_{10}\,100}=\dfrac{\log_{10}\,10^{3}}{\log_{10}\,10^2}=\dfrac{3\,\log_{10}}{2\,\log_{10}\,10}=\dfrac{3\cdot 1}{2\cdot 1}=\dfrac{3}{2} \neq \log_{10}\,1000-\log_{10}\,100 =$
$=\log_{10}\,10^3-\log{10}\,10^2=3\,\log_{10}\,10-2\,\log_{10}\,10=3\cdot 1-2\cdot 1= 1$
, que es una contradicción, luego la segunda igualda, $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} = \log_b\,m-\log_b\,n$, también es falsa.

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Nota: Las que sí son ciertas son las igualdades $\log_b\,a\cdot b=\log_b\,m + \log_b\,n$ y $\log_b\,\dfrac{m}{n}=\log_b\,m-\log_n$. $\diamond$

Reescritura de un número real positivo mediante un logaritmo

Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. A modo de ejercicio, veamos cómo podemos demostrar que $$a^b=c^{\log_c\,(a^b)}$$

Denotemos $u:=a^b$. Entonces, tomando logaritmos en ambos miembros, $\log_c\,u=\log_c\,a^b$; y, por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u=c^{\log_c\,a^b}$, luego $a^b=c^{\log_c\,(a^b)}$. Por ejemplo, cualquier número real positivo $k$ se puede escribir de la forma $e^{\ln\,k}$, o si se quiere, en cualquier otra base $\ell$, como $\ell^{\log_\ell\,k}$ . $\diamond$

Acerca del cambio de base de un logaritmo

Otra interesante propiedad sobre el cambio de base logarítmica es la siguiente: $$\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$$ siendo $a$, $x$ y $b$ números reales positivos.

Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_b\,x \Leftrightarrow x=b^u$, y extrayendo logaritmos en base $a$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_a\,x=\log_a\,b^u$, esto es, $\log_a\,x=u\,\log_a\,b$, con lo cual, $u=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, es decir $\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, tal como se pedía. En muchos cálculos, esta propiedad puede resultar muy práctica, por ejemplo: $\ln\,x=\dfrac{\log\,x}{\log\,e}$ (recordemos que $\log(.)$ indica el logaritmo decimal (en base $10$) y que $\ln(.)$ denota el logaritmo neperiano (en base $e$). $\diamond$

Una propiedad interesante de los logaritmos

En este breve artículo del blog voy a demostrar la siguiente propiedad: $$\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$$ siendo $a$ y $b$ números reales positivos.

Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_a\,b \Leftrightarrow b=a^u$. Extrayendo logaritmos en base $b$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_b\,b=\log_b\,a^u$, esto es, $1=\log_b\,a^u=u\,\log_b\,a$, con lo cual, $u=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, es decir $\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, tal como se pedía. $\diamond$

A vueltas con las ecuaciones trigonométricas

Un bonito ejercicio de resolución de ecuaciones trigonométricas, para valores de $x$ comprendidos en la primera vuelta: $$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{\cos^2\,x}=1$$

Teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2\,x+cos^2\,x=1$, se tiene que $cos^2\,x=1-\sin^2\,x$, con lo cual podemos escribir la ecuación pedida de la siguiente forma: $$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{1-\sin^2\,x}=1$$

Entonces,
  $\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{1-\sin^2\,x}=1$
    $\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2\cdot 2^{-\sin^2\,x}=1$
      $\displaystyle \dfrac{-2^{\sin^2\,x}}{2^{-\sin^2\,x}}+\dfrac{2\cdot 2^{-\sin^2\,x}}{2^{-\sin^2\,x}}=\dfrac{1}{2^{-\sin^2\,x}}$
        $\displaystyle -(2^{\sin^2\,x})^2+2=2^{\sin^2\,x}$
          $\displaystyle -(2^{\sin^2\,x})^2-2^{\sin^2\,x}+2=0$
            $\displaystyle -u^2-u+2 \quad \overset{u:=2^{\sin^2\,x}}{=} \quad 0 \Leftrightarrow u=\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2 \cdot (-1)} =\left\{\begin{matrix}-2 \\ 1 \end{matrix}\right.$
Si $u=-2$, tenemos que $-2=2^{\sin^2\,x}$, y, como el segundo miembro es una cantidad positiva y el primero es una cantidad negativa, esta posibilidad no lleva a ninguna solución; por otra parte, si $u=1$, se tiene $1= 2^{\sin^2\,x}$, esto es, $2^0= 2^{\sin^2\,x} \Leftrightarrow \sin^2\,x=0 \Leftrightarrow x=\left\{ \begin{matrix}0^o \\ 180^o \end{matrix}\right.$. La solución pedida consta pues de dos valores $0^o$ y $180^o$, o, expresado en radianes: $0\, \text{rad}$ y $\pi\,\text{rad}$. $\diamond$

Ejercicio de aplicación de identidades notables para resolver una ecuación polinómica

En el siguiente ejercicio voy a resolver la ecuación polinómica $$x^6=(x+1)^6$$ Observemos que esta ecuación es equivalente a $x^6-(x+1)^6=0$, siendo el primer miembro de la igualdad un polinomio de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese), y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x+1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x+1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x+1)^3\right)\left(x^3+(x+1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x+1)) (x^2+x(x+1)+(x+1)^2) (x+(x+1)) (x^2-x(x+1)+(x+1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $-(3x^2+3x+1)(2x+1)(x^2+x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2+3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-3 \pm i\,\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x+1=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2+x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-1 \pm i\,\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
$\diamond$

Elemento neutro con respecto de la multiplicación de números complejos

Consideremos el cuerpo de los números complejos $(\mathbb{C},+,.)$. Vamos a demostrar que el elemento neutro del mismo con respecto de la operación producto de números complejos es $(1,0)$

Recordemos que todo número complejo $z$ viene dado por un par ordenado de números reales $(a,b)$, y que se define el producto de dos números complejos de la forma $z_1=:(a_1,b_1)$ y $z_2=:(a_2,b_2)$ de la forma $z_1\cdot z_2:=(a_1\,a_2-b_1\,b_2,a_1\,b_2+a_2\,b_1)$.

Entonces, el elemento neutro con respecto de la multiplicación de números enteros, $n=:(n_1,n_2)$, ha de ser único y tal que para todo $\mathbb{C} \ni z=:(a,b)$, donde $a,b \in \mathbb{R}$, se cumpla que $z\,n\overset{\text{conmutatividad de}\,\cdot}{=}n\,z=z$. Por tanto, $n \cdot z=(n_1,n_2)\cdot (a,b):=(n_1\,a-n_2\,b,n_1\,b+n_2\,a)=(a,b) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n_1\,a&-&n_2\,b&=&a \\ n_1\,b&+& n_2\,a&=&b\end{matrix}\right.$
  $\overset{-(b/a)\,f_1+f_2 \rightarrow f_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}n_1\,a&-&n_2\,b&=&a \\ &&\dfrac{a^2+b^2}{a}\,n_2&=&0& \Rightarrow n_2=0\end{matrix}\right.$ y, por tanto, sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se obtiene $n_1=1$, con lo cual $n=(1,0)$.

Demostremos ahora la unicidad de dicho elemento neutro. Procedamos por reducción al absurdo, suponiendo que no lo es, esto es, que al menos existe un $n'=:(n'_1\,n'_2) \neq n=:(n_1,n_2)$. Entonces, $z=z\,n=z\,n'$, con lo cual $\left\{\begin{matrix} a\,n_1-b\,n_2 = a\,n'_1-b\,n'_2 \\ b\,n_1+a\,n_2 = b\,n'_1+a'\,n_2 \end{matrix}\right.$, es decir $\left\{\begin{matrix} a\,(n_1-n'_1) = b\,(n_2-n'_2) \\ b\,(n_1-n'_1) = a\,(n_2-n'_2) \end{matrix}\right. \Rightarrow n_1=n'_1 \quad \text{y} \quad n_2=n'_2$, en contradicción con la hipótesis de partida. $\diamond$

Ejemplo de representación gráfica de una función definida a tramos con GNU MAXIMA

Representemos la gráfica de la siguiente función definida a tramos: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x+1 & \text{si} & x \lt 0 \\ 2^{-x} & \text{si} & x \ge 0 \end{matrix}\right.$$

Para hacerlo con la ayuda de GNU MAXIMA, escribimos la siguiente instrucción en el panel correspondiente:

(%i33)	wxplot2d([if x<0 then x+1 else 2^-x],[x,-4,4]);

$\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Una ejercicio con curvas cónicas. Intersección de curvas cónicas: representación gráfica y resolución de un sistema de ecuaciones cuadráticas con GNU MAXIMA

Nos proponemos calcular las coordenadas de los puntos de intersección de la circumferencia $C:x^2+y^2=3^2$ (de radio igual $3$ y centrada en el origen de coordenadas) y la elipse $E:\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$ (centrada también en el origen de coordenadas, con semiejes $a=4$ y $b=2$). Para ello, debemos resolver el sistema de cuaciones cuadráticas $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=3^2 \\ \dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1\end{matrix}\right.$

Primero, visualicemos las gráficas de dichas cónicas:

   (%i31)	wxplot2d([x^2+y^2=9,x^2/16+y^2/4=1],[x,-10,10],[y,-10,10]);
  

A la vista de las mismas, vemos que se intersecan en $4$ puntos del plano

A continuación, vamos a calcular las coordenadas exactas de los puntos de intersección:

(%i9)	c:x^2+y^2=3^2$ /* ecuación de la circumferemcia */
	
(%i10)	e:x^2/4^2+y^2/2^2=1$ /* ecuación de la elipse */

/* instrucción de resolución del sistema de ecuaciones 
formado por las dos ecuaciones anteriores y respuesta 
de MAXIMA */  
(%i11)	solve([c,e],[x,y]); 
(%o11)	[[x=-(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=-sqrt(7)/sqrt(3)],
          [x=-(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=sqrt(7)/sqrt(3)],
            [x=(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=-sqrt(7)/sqrt(3)],
              [x=(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=sqrt(7)/sqrt(3)]]
  
  

Así, pues, vemos que las coodenadas $(x,y)$ de los $4$ puntos de intersección son: $\left\{ \left( 2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right), \left( 2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right),\left( -2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right), \left( -2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right) \right\}$. $\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Ejemplo de uso de GNU Maxima para representar las gráficas de varias funciones en un mismo diagrama

(%i15)	f(x):=x^2$
	g(x):=-x$
	wxplot2d([f(x),g(x)],[x,-1,1]);

$\diamond$

-oOo-

Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

¿Cómo saber si un número (el que primero se nos ocurra) es primo? ¿Cómo encontrar los números primos menores que un cierto número (pongamos que 1000)?

Aquí tenéis un algoritmo básico y el código del programa correspondiente en lenguaje Python [1]

def es_primo(numero):
    if numero < 2:
        return False
    for i in range(2, int(numero ** 0.5) + 1):
        if numero % i == 0:
            return False
    return True

# Ejemplo de uso:
numero = int(input("Ingrese un número: "))
if es_primo(numero):
    print(numero, "es un número primo.")
else:
    print(numero, "no es un número primo.")

-oOo-

Y para encontrar los números primos mayores o iguales que $2$ y menores que $1000$, podéis escribir y hacer funcionar el siguiente programa en vuestro intérprete de Python (los hay que podéis utilizar en línea, sin instalar software de desarrollo en vuestro ordenador como, por ejemplo, éste [3]: https://www.tutorialspoint.com/online_python_compiler.php):

  def es_primo(numero):
    if numero < 2:
        return False
    #la búsqueda acaba en la raíz cuadrada del número introducido más una unidad    
    for i in range(2, int(numero ** 0.5) + 1): 
        if numero % i == 0:
            return False
    return True

primos = []
for num in range(2, 1001):
    if es_primo(num):
        primos.append(num)

print("Números primos hasta 1000:")
print(primos)
  

Al poner en marcha el programa, a cuyo archivo le he dado el nombre de numerosprimos.py, >>> %Run numerosprimos.py
Nota: el símbolo >>> indica el prompt de la cónsola de vuestro entorno de desarrollo (fuera de línea, he utilizado el IDE Thonny [2] (habiendo instalado préviamente Python [1]), que es software libre, y es de fácil uso)
Podéis comprobar que se obtiene (rápidamente, en pocos segundos) ...
Números primos hasta 1000: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]
>>>

Observación

Otra manera de hacerlo consiste en implementar el algoritmo de la criba de Eratóstenes, tal como podéis ver en este artículo que he escrito en otro de mis blogs; en particular, con un programa escrito, también, en lenguaje Python.

$\diamond$

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Utilidades:

  [1] El software básico para trabajar con Python: https://www.python.org/
  [2] Un entorno de trabajo: https://thonny.org/
  [3] Un compilador en línea: https://www.tutorialspoint.com/online_python_compiler.php

Acerca de la identidad de Bézout y las ecuaciones diofánticas lineales

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $\text{m.c.d.}(a,b)$—, es la denominada identidad de Bézout, que dice así:

Sea $\mathbb{Z} \ni d=\text{m.c.d.}(a,b)$, entonces existen infinitas parejas de números enteros $x,y$, tales que $d=ax+by$.

Veamos un ejemplo:
Consideremos los números enteros $a=4$ y $b=2$ —para hacerlo sencillo, los hemos elegido positivos—. Sabemos que el máximo común divisor de estos dos números es $d=\text{m.c.d.}(4,2)=2$, entonces, según el resultado que nos ocupa (identidad de Bézout), podremos encontrar otros dos números $x,y$ (no necesariamente únicos) tales que $2=4x+2y$. En efecto, es claro que una posibilidad es $x_1=0$ e $y_1=1$, entre otras infinitas parejas que satisfacen esta igualdad, y se puede justificar que son de la forma $$\left\{\begin{matrix}x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\ y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ es decir, en el caso que nos ocupa: $$\left\{\begin{matrix}x=0+\lambda\,\dfrac{2}{2}=\lambda \\ y=1-\lambda\,\dfrac{4}{2}=1-2\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\{(0,1),(1,-1),(-1,3),(2,-3),(-2,5),\ldots\}$$

Otro ejemplo:
Dados los números enteros $a=1170$ y $b=363$, nos proponemos encontrar los pares de valores enteros $x,y$ tales que $x\,a+y\,b=d$ (donde $d=\text{m.c.d.}(a,b)$. Lo primero que haremos es calcular el máximo común divisor; y, como vamos a ver enseguida, nos vendrá muy bien hacerlo aplicando el algoritmo de Euclides. Sigamos los pasos necesarios:
  (1)   $1170=363\cdot 3+81$
  (2)   $363=81\cdot 4+39$
  (3)   $81=39\cdot 2+3$
  (4)   $39=13\cdot 3+0 \Rightarrow d=3$
Procedemos ahora a encontrar una solución particular $x_1,y_1$:
  De (3), $3=81-39\cdot 2$
    y teniendo en cuenta (2), podemos escribir que
    $3=81-(363-81\cdot 4)\cdot 2=81-363\cdot 2 +81\cdot 8=9\cdot 81 -263\cdot 2$
    que, siguiendo a partir de (1), puede escribirse de la forma
    $3=9\cdot 81 -263\cdot 2=9\cdot 1170-27\cdot 363-363\cdot 2 = 9\cdot 1170 -29\cdot 363 \Rightarrow x_1=9$ y $y_1=-29$
Con lo cual, como ya sabemos la estructura de la solución general, llegamos a que ésta es: $$\left\{\begin{matrix}x=9+\lambda\,\dfrac{363}{3} \\ y=-29-\lambda\,\dfrac{1170}{3}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=9+121\,\lambda \\ y=-29-390\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ obteniendo (dando valores arbitrarios a $\lambda$: $0,\pm1,\pm2\,\ldots$) las infinitas parejas de que consta la solución: $$\{(9,-29),(130,-419),(-112,361),\ldots\}$$

-oOo-

Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, siendo también $c,d$ y $k$, números enteros, y siendo $k|d=\text{m.c.d.}(a,b)$. En estas condiciones, la solución general de dicha ecuación diofántica lineal está formada por un conjunto de parejas de números enteros $x$ e $y$. Para encontrar dicha solución general, a partir de una solución particular, se parte del resultado básico de la identidad de Bézout. En cursos superiores, aprenderéis a resolver este tipo de ecuaciones. Si sóis personas curiosas, os sugiero que os avancéis y leáis este otro artículo —como ampliación opcional— para ver como se hace.

Nota: El nombre que se le da a estas ecuaciones de números enteros viene del matemático Diofanto (s. III d.C.), quien en su obra Arithmetica expuso la resolución de algunas de dichas ecuaciones. $\diamond$

Raíces de una función con términos radicales

Nos proponemos en este ejercicio encontrar las raíces de la función real de una variable real $$f(x)=x-\sqrt{-4x-3}$$

El dominio de definición de la función viene dado por la condición $-4x-3\ge 0$ (el argumento de la raíz cuadrada no puede ser un número negativo), con lo cual, $4x \le 3$ y por tanto $x \le \dfrac{3}{4}$.

Impongamos la condición necesaria para que un cierto valor del dominio de definición de la función sea raíz de la misma: $f(x)=0$. Entonces, $x-\sqrt{-4x-3}=0 \quad (1)$ y por tanto $x=\sqrt{-4x-3}$. Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad se llega a la ecuación algebraica $x^2=-4x-3$, esto es, $x^2+4x+3=0$ y, por tanto, $x=\dfrac{-4\pm \sqrt{4^3-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-3 \\ -1\end{matrix}\right.$. Si bien estos valores constituyen la solución de la ecuación algebraica a la que hemos llegado, transformando la original; y, también, forman parte del dominio de definición de la función $f(x)$ (ambos valores son menores que $\dfrac{3}{4}$), deberemos ver, no obstante, si son, también, solución de la ecuación original (1).

Veamos si $-1$ es solución de (1). Para ello sustituimos en el segundo miembro, y vemos que $\sqrt{-4\cdot (-1) -3}=\sqrt{1}=1$, que no es igual al valor del primer miembro, que es $-1$ (al sustituir $x$ por $-1$); así pues, $-1$ no es solución de (1) y por tanto no es una raíz de $f(x)$.

Examinemos ahora si $-3$ es solucioón de (1), procediendo de igual manera: el valor del segundo miembro de (1) es $\sqrt{-4\cdot (-3) -3}=\sqrt{9}=3$, mientras que el valor numérico del primer miembro para $x=-3$ da un valor distinto, $-3$. Ocurre pues lo mismo que con $-1$: tampoco $-3$ es solución de (1), luego $-3$ no es una raíz de $f(x)$. En definitiva, la función $f(x)$ no tiene raíces en el conjunto de los números reales (no hay contacto del trazo de la función con el eje de abscisas).$\diamond$

Número de ceros finales del resultado de $m!$

Una sencilla cuestión que puede despertarnos una cierta curiosidad es la siguiente: ¿Es posible determinar el número de ceros en que acaba el resultado de una multiplicación con números enteros, sin tener que realizar el cálculo de la misma?. La respuesta es afirmativa. Lo cual podemos demostrar mediante un sencillo razonamiento.

La idea clave es la siguiente: al realizar la multiplicación de varios números enteros, pongamos que $e_1\cdot e_2 \cdot \ldots \cdot e_n$, bien podremos expresar dicha multiplicación de la forma $a\cdot 10^k$, donde $k$ es, desde luego, un número entero no negativo y $a$ un número entero no divisible por $10$; entonces, resulta evidente que el número de ceros finales del resultado es igual al exponente $k$ del segundo factor, que es una potencia de diez. Para expresar la operación de esta manera, deberemos tener en cuenta que, como el número $10$ de la potencia es $10=2\cdot 5$, el exponente $k$, habrá de ser tal que éste sea igual al $\text{mín}(r,s)$, donde $r$ representa el exponente del factor $2^r$, y $s$ el exponente de $5^s$, que encontraremos en la factorización de los multiplacandos. A continuación, voy a exponer un par de ejemplos con números cómodamente manejables, para que esta idea quede bien clara. En especial, el segundo, que es el caso del cálculo del factorial de un número entero no negativo, nos llevará a un interesante resultado.

Ejemplo 1

¿Cuál es el número final de ceros de la operación $42\cdot 54 \cdot 25$?. Procedamos como hemos indicado arriba, recurriendo para ello a la descomposición factorial de los multiplicandos:
$42\cdot 54 \cdot 25=$
  $=(7\cdot 2 \cdot 3) \cdot (3^3\cdot 2)\cdot (5\cdot 5)$
    $=(7\cdot 3^4) \cdot (2\cdot 5)^2$
      $=(7\cdot 3^4) \cdot 10^2$
Luego al ser $k=2$, éste es el número de ceros finales del resultado, como puede comprobarse fácilmente.

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Ejemplo 2

¿Cuál es el número final de ceros del resultado de la operación factorial de $8$?. Teniendo en cuenta que el factorial de un número entero no negativo, $m$, es la multiplicación recurrente $m!:=m\cdot (m-1)!$, siendo $0!=1$, se tiene que:
$8!=8\cdot 7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=$
  $=2^3\cdot 7 \cdot (2\cdot 3) \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
    $=2^7\cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7$
      $=3^2 \cdot 7 \cdot 2^7 \cdot 5^1$
        $=3^2 \cdot 7 \cdot 2^6 \cdot (2\cdot 5)^1$, habida cuenta de que $\text{mín}(7,1)=1$, que es el valor del expoente $k$ de la potencia de diez
        $=3^2 \cdot 7 \cdot 2^6 \cdot 10^1$
Luego al ser $k=1$, éste es el número de ceros finales del resultado, como puede también puede comprobarse fácilmente, multiplicando paso a paso, o, más cómodamente con una calculadora que disponga de la función factorial.

Observaciones importantes acerca de la obtención del número de ceros finales en el caso del resultado del factorial de $m$

Observación 1

Notemos que, como el número de múltiplos de $2$ de un número $m$ del cual queremos calcular su factorial (y que no es otra cosa que el valor de $r$) es mayor que el número de múltiplos de $5$ de $m$ (y que, desde luego, es igual a $s$), deducimos de ello que $k=\text{mín}(r,s)=s$, luego podemos facilitar el cálculo de $k$, que es igual a $s$, calculando directamente esta cantidad (el número de múltiplos de $5$), para lo cual basta obtener la parte entera de $\dfrac{m}{5}$ —véase, para mayor comprensión de ésto, este artículo de otro de mis blogs—, y que se suele denotar como $\left[\dfrac{m}{5}\right]$, esto es, el cociente de la división euclídea $m\div 5$. En el ejemplo anterior, vemos que al realizar la división $8 \div 5$ se obtiene cociente igual a $1$ y resto igual a $3$, luego $k=\left[\dfrac{8}{5}\right]=1$; es decir, llegamos a la misma conclusión: $8!$ acaba en un solo cero, como ya habíamos deducido de la otra manera, más rudimentaria.

Esta otra forma de determinar el número de ceros finales es mucho más eficiente, en especial cuando el número del cual queremos calcular su factorial es un poco más grande. Así, por ejemplo, podemos comprobar —de las dos maneras— que el número de ceros finales de $11!$ es dos. Podemos ver que, procediendo según lo que primero he expuesto, el proceso es un poco más arduo, al manejar las potencias de los factores primos; sin embargo, de la segunda manera, es inmediato: $k=\left[\dfrac{11}{5}\right]=2$

Observación 2

Si el número $m$ del cual queremos obtener el número de ceros finales de su factorial es mayor o igual que $25$, se tiene que al ser $25=5\cdot 5$, además de calcular $\left[\dfrac{m}{5}\right]$, deberemos contabilizar, también, la parte entera $\left[\dfrac{m}{5^2}\right]$ ya que, ahora, $k=\left[\dfrac{m}{5}\right]+\left[\dfrac{m}{5^2}\right]$, de acuerdo con la idea central alrededor de la que nos estamos moviendo. Así, por ejemplo, el número de ceros finales de $26!$ es $k=\left[\dfrac{26}{5}\right]+\left[\dfrac{26}{5^2}\right]=5+1=6$. Desde luego, esto no podremos comprobarlo —realizando expresamente el cálculo de $26!$— con una calculadora científica básica, pues ésta fuerza la expresión del resultado en punto/coma flotante (por carecer su procesador de los suficientes registros de memoria interna); sin embargo, sí podemos hacerlo con cualquier herramienta CAS, como, por ejemplo, WolframAlpha o MAXIMA, que sí mostraran el resultado en notación usual. En efecto, podemos ver que $26!=403\,291\,461\,126\,605\,635\,584\,000\,000$.

De manera parecida, si el número $m$ es mayor o igual que $5^3=125$, se tiene que, además de calcular $\left[\dfrac{m}{5}\right]$ y $\left[\dfrac{m}{5^2}\right]$ , deberemos contabilizar, también, la parte entera $\left[\dfrac{m}{5^3}\right]$ ya que, ahora, $k=\left[\dfrac{m}{5}\right]+\left[\dfrac{m}{5^2}\right]+\left[\dfrac{m}{5^3}\right]$. Así, por ejemplo, el número de ceros finales de $127!$ es $k=\left[\dfrac{127}{5}\right]+\left[\dfrac{127}{5^2}\right]+\left[\dfrac{127}{5^3}\right]=25+5+1=31$. Podremos comprobarlo realizando expresamente el cálculo de $127!$ (yo lo he realizado con WolframAlpha):
      $127!=$
      $=3012660018457659544809977077527059692324164918673621 \gg$
      $799053346900596667207618480809067860692097713761984609 \gg$
      $77994577278396556385103330077232629777308785186998250027066179124412259762176 \gg$
      $000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,0000$
donde pueden apreciarse, al final, los $31$ ceros (finales) previstos.

A modo de conclusión

Por consiguiente, fácilmente podemos generalizar lo anterior, de manera que, si $5^{\alpha} \le m \lt 5^{\alpha+1}$, donde $\mathbb{Z} \ni \alpha \ge 0$, tendremos que el número de ceros finales es igual a $k=\left[\dfrac{m}{5}\right]+\left[\dfrac{m}{5^2}\right]+\ldots+\left[\dfrac{m}{5^{\alpha}}\right]$, que podemos expresar también de una forma más compacta como $$\displaystyle k=\sum_{j=1}^{\alpha}\,\left[\dfrac{m}{5^j}\right]$$ $\diamond$