Un cálculo de velocidad media a partir de un movimiento adelante-atrás con un patrón de sucesiones aritméticas

Un cochecito robot se mueve en línea recta, saliendo de un punto $O$. En el primer segundo avanza $10\,\text{cm}$ —la posición de salida, $x_0=0\,\text{cm}$, corresponde al origen de tiempo, $t_0=0\,\text{s}$— y en el segundo segundo retroce $6\,\text{cm}$; en el tercer segundo avanza $12\,\text{cm}$ y en el cuarto segundo retroce $8\,\text{cm}$; en el quinto segundo avanza $14\,\text{cm}$ y en el sexto segundo retroce $10\,\text{cm}$; y, así, sucesivamente, hasta que han transcurrido $51$ segundos. Finalmente, ¿en que posición se encuentra con respecto al punto $A$? ¿cuál es la velocidad media del coche entre el punto inicial $O$ y el punto final del recorrido?

La distancia desde la posición final a $O$ es, por definición de distancia entre dos puntos de una recta, $d:=x_{51}-x_{0}=x_{51}-0=x_{51}$, donde $x_i$ denota las posiciones en los instantes $0,1,2,\ldots,51$, con $x_0=0$ (posición de salida). Por tanto, la distancia pedida viene dada por la suma $$d=x_{1}+x_2+x_3+x_4+\ldots+x_{50}+x_{51}$$ donde los términos/sumandos con índice impar corresponden a los avances (positivos) y los términos con índice par a los pasos de retroceso (que son negativos), es decir, $$d=10+(-6)+12+(-8)+14+(-10)+16+(-12)+\overset{\underbrace{51}}{\ldots}+\ell+(-m)$$ siendo $\ell$ el último avance (el del quincuagésimo primer segundo, y por tanto el vigésimo sexto en el conjunto de los avances) y $m$ el último retroceso (el del quincuagésimo segundo, y por tanto el vigésimo quinto en el conjunto de los retrocesos). Esta suma podemos separarla a su vez en dos sumas, la suma de los pasos $26$ términos positivos que corresponden a los pasos de avance $$10+12+14+16+\overset{\underbrace{26}}{\ldots}+\ell$$ y la suma de los $25$ términos negativos que corresponden a los pasos de retroceso $$-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{\underbrace{25}}{\ldots}+m$$ Observemos que la suma de los términos positivos es la de una progresión aritmética (la de los $26$ pasos de avance), de diferencia igual a $2$, con primer término igual a $10$, y último término $m=10+(26-1)\cdot 2 = 60$, luego $10+12+14+16+\overset{(26)}{\ldots}+260=26\cdot \dfrac{10+60}{2}=910$.

Por otra parte, la suma de los términos negativos es la de una progresión aritmética (la de los $25$ pasos de retroceso) de diferencia igual a $-2$, con primer término giual a $-6$, y último término $m=-6+(25-1)\cdot (-2) = -54$, luego $-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{(25)}{\ldots}+(-54)=25\cdot \dfrac{(-6)+(-54)}{2}=-750$.

Entonces, $d=910+(-750)=160\,\text{cm}$, que corresponde al valor de la coordenada de la posición final $x_{51}$. Calculo ahora la velocidad media: $$v_m:=\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,t}=\dfrac{x_{\text{final}}-x_{\text{inicial}}}{t_{\text{final}}-t_{\text{inicial}}}=\dfrac{x_{51}-x_{0}}{t_{51}-t_{0}}=\dfrac{160-0}{51-0}=\dfrac{160}{51}\,\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$$

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