De desea construir un depósito esférico cuya capacidad sea de $1000 \pm 40 \, \text{l}$. ¿ Cuál debe ser su radio interior ? Calcúlese también una cota de su error absoluto.
SOLUCIÓN:
Como el volumen es igual a $1000 \pm 40 \, \text{dm}^3$ ( 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico ), y en una esfera se calcula de la forma $V=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$, sabemos que la relación entre las cotas de error relativo es $\varepsilon_V=\varepsilon_r+\varepsilon_r+\varepsilon_r \quad \quad (1)$, por ser las operaciones productos de una misma magnitud, $r$, afectada de error: $r^3=r\cdot \cdot \cdot$ ( los demás factores son exactos ). Entonces, de $$1000=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$$ despejando $r$, encontramos el valor aproximado del radio ( que será el centro del intervalo de error ) $$r=\sqrt[3]{\dfrac{3 \cdot 1000}{4 \cdot \pi}} \approx 0,12$$ Por otra parte, de (1), y teniendo en cuenta que $\varepsilon_V=\dfrac{\Delta_V}{V}$, podemos escribir $$\dfrac{40}{1000}=3\,\varepsilon_r$$ luego, despejando la cota de error relativo del radio, obtenemos $$\varepsilon_r = \dfrac{40}{3000} \approx 0,02$$ Y, como $$\varepsilon_r=\dfrac{\Delta_r}{r}$$ obtenemos $$\Delta_r=\varepsilon_r \cdot r \approx 0,2$$ De ahí podemos decir que $r = 6,2 \pm 0,2 \, \text{dm}$ o lo que es lo mismo $r = 62 \pm 2 \, \text{cm}$, es decir, el intervalo de error ( o incertidumbre ) del radio ( expresado en centímetros ) es $I=(62\,,\,64) $
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