Una aproximación al modelo binomial de variable aleatoria

En una población se sabe que el $1\,\%$ de los individuos tienen los ojos verdes. De $10$ individuos (elegidos al azar), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos tengan los ojos verdes?

Este problema es muy similar al lanzamiento repetido de una moneda (no equilibrada). Para un cierto individuo (elegido al azar), podemos asimilar el que salga cara a que tenga los ojos verdes; según la información del enunciado, la probabilidad de que tenga los ojos verdes, $p$, es $0,01$, y la probabilidad de que no tenga los ojos verdes (suceso contrario), $q$, será, por tanto, $1-p=1-0,01=0,99$. Entonces, podemos imaginar que lanzamos la moneda $20$ veces (los lanzamientos son independientes unos de otros), con lo cual, hay $\binom{10}{3}$ posibilidades a la hora de seleccionar los tres individuos (sobre un total de $10$) a los que se refiere la pregunta del enunciado. Por consiguiente, como los resultados de los 'lanzamientos' son independientes, la probabilidad pedida es $\binom{10}{3}\cdot 0,01^3 \cdot 0,99^{10-3}\approx 1,118\cdot 10^{-4}$.

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Comentario (generalización y notación): Denominemos $X$ a la variable aleatoria que representa cuántos individuos tienen los ojos verdes (dado el conjunto de individuos por el que nos estamos preguntando, que, en general pongamos que sea $n$); así, los posibles valores que puede tomar dicha variable aleatoria son los del conjunto $X=\{0,1,2,\ldots,n\}$. En las condiciones expuestas (independencia de sucesos y estricta dualidad en los resultados: tener cierta característica o bien no tenerla), nos referiremos formalmente a la probabilidad pedida como modelo de probabilidad binomial de varable aleatoria; así, la probabilidad de que $m$ de los $n$ individuos, con $m \le n$, tengan la característica por la que nos preguntamos, tener los ojos verdes (lo contrario es no tener los ojos verdes, y no hay más posibilidades) con la siguiente notación (que es la que utilizaremos para todos los problemas que se ajusten a ese modelo de probabilidad): $$\displaystyle P(\{X=m\})=\binom{n}{m}\cdot p^{m}\cdot (1-p)^{n-m}$$

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Una variable aleatoria binomial ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una variable aleatòria $X$ és $B(9 \; , \; 0,25)$. Calculeu:
    a) el valor de $\mu$ ( esperança matemàtica de $X$ )
    b) el valor de $\sigma$ ( desviació de $X$ )
    c) $f(7)$
    d) $P(X \le 8)$
    e) $F(5)$
    f) $P(X=4)$
    g) $P(3 < X \le 6)$

Resolució:
a)
$\mu=n\,p$
    $=9\cdot 0,25$
    $=2,25$
$\square$

b)
$\sigma=\sqrt{n\,p\,q}$
    $=\sqrt{9\cdot 0,25 \cdot 0,75}$
    $\approx 1,2990$
$\square$

c)
$f(7)=P(X=7)$
    $=\binom{9}{7}\,0,25^{7}\cdot 0,75^{9-7}$
    $\approx 0,0012$
$\square$

d)
$\displaystyle P(X \le 8)=\sum_{i=0}^{8}\,P(X=i)$
    $=\sum_{i=0}^{8}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,9999962$
    $\approx 1$
$\square$

e)
$\displaystyle F(5)=P(X \le 5)=\sum_{i=0}^{5}\,P(X=i)$
    $=\sum_{i=0}^{5}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,9900$
$\square$

f)
$\displaystyle P(X=4)=\binom{9}{4}\,0,25^{4}\cdot 0,75^{9-4}$
    $\approx 0,1168$
    $\approx 1$
$\square$

g)
$\displaystyle P(3 < X \le 6)=P(X \le 6)-P(X < 3)$     $=P(X \le 6)-P(X \le 2)$

    $=\sum_{i=0}^{6}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}-\sum_{i=0}^{2}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,3980$
$\square$

[nota del autor]

Una urna contiene veinte bolas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una urna hi ha vint boles, de les quals vuit són blanques i la resta són negres. Extraiem a l'atzar quinze boles, successivament i amb reemplaçament. Quant val la probabilitat que, d'aquestes quinze boles que hem tret, almenys vuit siguin blanques ?

Resolució:
Els possibles valors de la variable aleatòria $X$ (nombre de boles blanques que han aparegut en les quinze realitzacions ) són $\{0,1,2,3,\ldots,15\}$. La prªobabilitat $p$ que en una extracció surti una bola blanca (probabilitat d'èxit) és igual a $8/20$, és a dir, $\frac{2}{5}$; i la probabilitat de fracàs (que surti una bola negra) és, per tant, igual a $\frac{3}{5}$

Es tracta, doncs, d'un problema de variable aleatòria discreta $X$ que segueix el model binomial $B(n, p)$, amb $n=15$ i $p=2/5$ ( probabilitat d'èxit )

La probabilitat demanada (que almenys hi hagi vuit boles blanques entre les quinze boles que hem tret) es pot expressar de la forma
$\displaystyle \sum_{i=8}^{15}\,P(X=i)$
que és el mateix que
$P(X \ge 8)$
i que ha de ser igual a
$1-P(X \le 7)$

A continuació, calcularem el valor d'aquesta expressió i, per això, és molt convenient que fem servir l'aproximació del model binomial pel model normal (de Gauss), atès que d'aquesta manera, els càlculs (amb les taules de la funció de distribució d'aquest model) seran ràpids i senzills.

Primer de tot, però, cal comprovar que es compleixen les condicions per tal que puguem fer aquesta aproximació:
és a dir, que $p$ ( i $q$ ) no siguin ni massa propers a zero ni a u; i, per altra banda, cal que $n\,p > 5$.

Trobem que sí, efectivament, podem fer servir l'aproximació
$X \sim B(n,p)$ per $X^{'} \sim N(n\,p \; , \; \sqrt{n\,p\,q})$
atès que $p = 0,4$ i $n \, p = 15 \cdot 0,4 = 6 > 5$

Calculem, doncs, $P(X \le 7)$
$P(X \le 7) \approx P(X^{'} \le 7+0,5 $     (correcció de Yates)
i fent el canvi
$Z=\dfrac{X^{'}-\mu}{\sigma}$
            on
            $\mu=n \,p = 6$
            i
            $\sigma=\sqrt{n\,\,p\,q} \approx 1,8974$
passem a treballar, de forma equivalent, amb una v.a. $Z \sim N(0,1)$ i, per tant, podrem fer servir les taules de la funció de distribució $F(z)$

Calculem el valor de la fita per a $Z$:
Si $x^{'}=7,5$ trobem que
$z=\dfrac{7,5-6}{1,8974}\approx 0,7906$

Llavors, consultant les taules trobem
$F(0,79)=0,7852$
$F(0,80)=0,7881$
d'on, per interpolació lineal, obtenim
$F(0,7906)=\ldots=0,7854$

És a dir
$P(X^{'}\le 7,5)=P(Z \le 0,7906) \approx 0,7854$
i, per tant, finalment, recodem que
$P(X \ge 8) \approx 1-P(X^{'} \le 7,5)$
que és igual a $0,2146$

$\square$

[nota del autor]