Un cálculo de velocidad media a partir de un movimiento adelante-atrás con un patrón de sucesiones aritméticas

Un cochecito robot se mueve en línea recta, saliendo de un punto $O$. En el primer segundo avanza $10\,\text{cm}$ —la posición de salida, $x_0=0\,\text{cm}$, corresponde al origen de tiempo, $t_0=0\,\text{s}$— y en el segundo segundo retroce $6\,\text{cm}$; en el tercer segundo avanza $12\,\text{cm}$ y en el cuarto segundo retroce $8\,\text{cm}$; en el quinto segundo avanza $14\,\text{cm}$ y en el sexto segundo retroce $10\,\text{cm}$; y, así, sucesivamente, hasta que han transcurrido $51$ segundos. Finalmente, ¿en que posición se encuentra con respecto al punto $A$? ¿cuál es la velocidad media del coche entre el punto inicial $O$ y el punto final del recorrido?

La distancia desde la posición final a $O$ es, por definición de distancia entre dos puntos de una recta, $d:=x_{51}-x_{0}=x_{51}-0=x_{51}$, donde $x_i$ denota las posiciones en los instantes $0,1,2,\ldots,51$, con $x_0=0$ (posición de salida). Por tanto, la distancia pedida viene dada por la suma $$d=x_{1}+x_2+x_3+x_4+\ldots+x_{50}+x_{51}$$ donde los términos/sumandos con índice impar corresponden a los avances (positivos) y los términos con índice par a los pasos de retroceso (que son negativos), es decir, $$d=10+(-6)+12+(-8)+14+(-10)+16+(-12)+\overset{\underbrace{51}}{\ldots}+\ell+(-m)$$ siendo $\ell$ el último avance (el del quincuagésimo primer segundo, y por tanto el vigésimo sexto en el conjunto de los avances) y $m$ el último retroceso (el del quincuagésimo segundo, y por tanto el vigésimo quinto en el conjunto de los retrocesos). Esta suma podemos separarla a su vez en dos sumas, la suma de los pasos $26$ términos positivos que corresponden a los pasos de avance $$10+12+14+16+\overset{\underbrace{26}}{\ldots}+\ell$$ y la suma de los $25$ términos negativos que corresponden a los pasos de retroceso $$-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{\underbrace{25}}{\ldots}+m$$ Observemos que la suma de los términos positivos es la de una progresión aritmética (la de los $26$ pasos de avance), de diferencia igual a $2$, con primer término igual a $10$, y último término $m=10+(26-1)\cdot 2 = 60$, luego $10+12+14+16+\overset{(26)}{\ldots}+260=26\cdot \dfrac{10+60}{2}=910$.

Por otra parte, la suma de los términos negativos es la de una progresión aritmética (la de los $25$ pasos de retroceso) de diferencia igual a $-2$, con primer término giual a $-6$, y último término $m=-6+(25-1)\cdot (-2) = -54$, luego $-6+(-8)+(-10)+(-12)+\overset{(25)}{\ldots}+(-54)=25\cdot \dfrac{(-6)+(-54)}{2}=-750$.

Entonces, $d=910+(-750)=160\,\text{cm}$, que corresponde al valor de la coordenada de la posición final $x_{51}$. Calculo ahora la velocidad media: $$v_m:=\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,t}=\dfrac{x_{\text{final}}-x_{\text{inicial}}}{t_{\text{final}}-t_{\text{inicial}}}=\dfrac{x_{51}-x_{0}}{t_{51}-t_{0}}=\dfrac{160-0}{51-0}=\dfrac{160}{51}\,\dfrac{\text{cm}}{\text{s}}$$

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Una aproximación al modelo binomial de variable aleatoria

En una población se sabe que el $1\,\%$ de los individuos tienen los ojos verdes. De $10$ individuos (elegidos al azar), ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellos tengan los ojos verdes?

Este problema es muy similar al lanzamiento repetido de una moneda (no equilibrada). Para un cierto individuo (elegido al azar), podemos asimilar el que salga cara a que tenga los ojos verdes; según la información del enunciado, la probabilidad de que tenga los ojos verdes, $p$, es $0,01$, y la probabilidad de que no tenga los ojos verdes (suceso contrario), $q$, será, por tanto, $1-p=1-0,01=0,99$. Entonces, podemos imaginar que lanzamos la moneda $20$ veces (los lanzamientos son independientes unos de otros), con lo cual, hay $\binom{10}{3}$ posibilidades a la hora de seleccionar los tres individuos (sobre un total de $10$) a los que se refiere la pregunta del enunciado. Por consiguiente, como los resultados de los 'lanzamientos' son independientes, la probabilidad pedida es $\binom{10}{3}\cdot 0,01^3 \cdot 0,99^{10-3}\approx 1,118\cdot 10^{-4}$.

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Comentario (generalización y notación): Denominemos $X$ a la variable aleatoria que representa cuántos individuos tienen los ojos verdes (dado el conjunto de individuos por el que nos estamos preguntando, que, en general pongamos que sea $n$); así, los posibles valores que puede tomar dicha variable aleatoria son los del conjunto $X=\{0,1,2,\ldots,n\}$. En las condiciones expuestas (independencia de sucesos y estricta dualidad en los resultados: tener cierta característica o bien no tenerla), nos referiremos formalmente a la probabilidad pedida como modelo de probabilidad binomial de varable aleatoria; así, la probabilidad de que $m$ de los $n$ individuos, con $m \le n$, tengan la característica por la que nos preguntamos, tener los ojos verdes (lo contrario es no tener los ojos verdes, y no hay más posibilidades) con la siguiente notación (que es la que utilizaremos para todos los problemas que se ajusten a ese modelo de probabilidad): $$\displaystyle P(\{X=m\})=\binom{n}{m}\cdot p^{m}\cdot (1-p)^{n-m}$$

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Resolución de inecuaciones. Otro ejemplo

Consideremos la función $f(x)=(2^x-1)(x+2)$. De manera parecida al ejercicio anterior, queremos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ esta función toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$f(x) \gt 0$$

El dominio de definición de esta función es todo el conjunto de los números reales. Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor de $x$ sea raíz de la función $f(x)$:
  $f(x)=0$
    $(2^x-1)(x+2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2^x-1=0 \Rightarrow x=0\\x+2=0 \Rightarrow x=-2\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-2$ y $0$; por tanto el dominio (la recta de los números reales) queda dividida en los siguientes intervalors: $(-\infty,-2]$, $(-2,0)$ y $(0,+\infty)$, en los que la función toma signo positivo o bien negativo.

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores de la función basta tomar un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyéndo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo del factor. Así podemos deducir fácilmente el signo de la propia función $f(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                    (-infinito,-2)             (-2,0)         (0,+infinito)
2^x-1                  negativo               negativo         positivo
x+2                    negativo               positivo         positivo
                              
(2^x-1)·(x+2)          positivo               negativo         positivo
 

El resultado lo extraemos de la última línea de la tabla: $$f(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-2) \cup (0,+\infty)$$ $\diamond$

Resolución de inecuaciones polinómicas. Un ejemplo

Consideremos el polinomio $P(x)=x^2+8x+7$. Nos proponemos determinar para qué valores de la variable independiente $x$ este polinomio toma valores positivos; es decir, queremos resolver la inecuación $$P(x) \gt 0$$

Veamos primero para qué valores de $x$ se anula (raíces de dicho polinomio); así podremos ver los intervalos en los que queda dividido su dominio de definición (que es la recta completa de los números reales).

Para ello, impongamos la condición necesaria para que un cierto valor $x$ sea raíz de $P(x)$:
  $P(x)=0$
    $x^2+8x+7=0$
      $x^2+x+7x+7=0$
        $x(x+1)+7(x+1)=0$
          $x(x+1)+7(x+1)=0$
            $(x+1)\left(x+7\right)=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-1\\-7\end{matrix}\right.$
Ésas son las raíces: $-7$ y $-1$; por tanto $\mathbb{R}$ queda dividida en los siguientes intervalos, en los que el polinomio es positivo o bien negativo: $(-\infty,-7)$, $(-7,-1)$ y $(-1,+\infty)$

Para ver dónde toman valores positivos o negativos los factores del polinomio basta un valor cualquiera que pertenezca a cada intervalo y, sustituyendo $x$ por dicho valor en la expresión algebraica, calcular el signo de su valor. Así podemos deducir fácilmente el signo del propio polinomio $P(x)$ en cada intervalo (multiplicando los signos que toman los factores en dichos intervalos). Organizamos este análisis en la siguiente tabla de resultados:

                  (-infintio,-7)             (-7,-1)       (-1,+infinto)
x+1                    negativo             negativo         positivo
x+7                    negativo             positivo         positivo
                              
(x+1)·(x+7)            positivo             negativo         positivo
 

El resultado lo deducimos de la última línea de la tabla: $$P(x) \gt 0 \,\forall x \in (-\infty,-7) \cup (-1,+\infty)$$ $\diamond$

Cálculo del ángulo entre dos números complejos en el diagrama de Argand (plano complejo)

Consideremos los números complejos $w=-1+2i$ y $z=1+3i$, ¿qué ángulo forman entre sí?

Observemos que el afijo de $w$ está en el segundo cuadrante del plano de Argand, pues $\mathcal{Re}(w)\lt 0$ y $\mathcal{Im}(w)\gt 0$; y, el afijo de $z$ está en el primer cuadrante, ya que $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$. Así pues $90^{\circ}\lt \text{Arg}(w) \lt 180^{\circ}$, mientras que $0^{\circ}\lt \text{Arg}(z) \lt 90^{\circ}$. Nota: En este ejercicio, por comodidad, he decidido expresar los ángulos en grados sexagesimales.

Calculo ahora los argumentos principales, aproximando a la cifra de las unidades: $\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{3}{1})=\text{arctan}(3)\approx 72^{\circ}$ y $\text{Arg}(w)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(w)}{\mathcal{Re}(w)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{2}{-1})=\text{arctan}(-2)\approx 117^{\circ}$

El ángulo que forman los dos números complejos en el plano de Argand será por tanto igual a la diferencia (en valor absoluto) de los argumentos principales: $$\measuredangle(w,z)=|\text{Arg}(w)-\text{Arg}(z)|=117^{\circ}-72^{\circ}=45^{\circ}$$ $\diamond$

Cálculo de la potencia $z^{22}$, siendo $z$ el número complejo del ejercicio anterior

En el artículo precedente habíamos visto que $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ puede expresarse de manera exponencial como $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ o, lo que es lo mismo, $$\displaystyle z=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$ Ahora, vamos a calcular la potencia $z^{22}$

Teniendo expresado $z$ de manera exponencial es sencillo calcular una potencia de exponente entero del mismo:
    $z^{22}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
        $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^5\cdot \left(e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}$
          $=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{22\,\pi}{4}}$
            $=\left(\dfrac{1}{2^{\frac{1}{2}}}\right)^{22}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
              $=\dfrac{1}{2^{\frac{22}{2}}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                $=\dfrac{1}{2^{11}}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
                  $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{i\,\frac{11\,\pi}{2}}$
Ahora bien, no hemos terminado, pues si queremos expresar $z^{22}$ en forma exponencial, debemos quedarnos con el argumento principal de dicho número complejo, y éste no puede ser mayor que $2\,\pi$, entonces, como el ángulo con que nos encontramos en la última línea es $\dfrac{11\,\pi}{2}\gt 2\pi$, tenemos que deducir cuál es el ángulo equivalente en la primera vuelta:
  Observemos que $11=2\cdot 5+1$, luego $\dfrac{11}{2}=\dfrac{2\cdot 5}{2}+\dfrac{1}{2}=5+\dfrac{1}{2}$; por consiguiente, $\dfrac{11\,\pi}{2}=5\,\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi-\pi+\dfrac{\pi}{2}=6\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})=3\cdot 2\,\pi+(-\dfrac{\pi}{2})$, es decir, $\dfrac{11\,\pi}{2}$ es lo mismo que $3$ vueltas menos un cuarto de vuelta, luego el argumento principal es ese cuarto de vuelta negativo: $\text{Arg}(z^{22})=-\dfrac{\pi}{2}$

En conclusión,
  $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}\right)^{22}=$     $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot e^{-\frac{i\pi}{2}}$
      $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2})\right)$
        $=\dfrac{1}{2\,048}\cdot \left(0+i\cdot (-1)\right)$
          $=-\dfrac{1}{2\,048}\cdot i$
que es un número imaginario puro, pues su parte real es nula, $\mathcal{Re}(z^{22})=0$.

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Un ejercicio para hallar la forma exponencial de un número complejo

Sea el número complejo $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ Me propongo expresarlo de la forma $$z=|z|\cdot e^{i\,\theta}$$ donde $\theta$ es el ángulo polar y $|z|$ denota el módulo de dicho número complejo

Podemos calcular el módulo $|z|$ de varias maneras. Una de ellas consiste en manejar el cociente con el que se define dicho número para expresarlo en forma binómica, $z=a+ib$, con $a,b\in \mathbb{R}$, y, a continuación, hallar su módulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Procedo de esta manera:
  $z=\dfrac{2+i}{3-i}$. Multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado del denominador:
    $=\dfrac{2+i}{3-i}\dfrac{3+i}{3+i}$
      $=\dfrac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$
        $=\dfrac{6+(3+2)i+i^2}{(3^2+3i-3i-i^2}$
          $=\dfrac{6+5i+-(1)}{(3^2-(-1)}$
            $=\dfrac{5+5i}{10}$
              $=\dfrac{5(1+i)}{10}$
                $=\dfrac{1}{2}\cdot (1+i) \quad (1)$
Entonces,
  $|z|=|\dfrac{1}{2}|\cdot |1+1\cdot i|$
    $=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
        $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
De $(1)$ podemos deducir ya el ángulo polar de $z$, para el que tomamos el argumento principal del mismo, $\theta =\text{Arg}(z)$, con $0\le \text{Arg}(z) \le 2\pi$:
  $\theta=\text{Arg}(z):=\arctan\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$, y teniendo en cuenta que $\text{Arg}\left(\dfrac{1}{2}\,(1+i)\right)=\text{Arg}(1+i)$, se tiene que, como $\mathcal{Re}(1+i)=1$ y $\mathcal{Im}(1+i)=1$, $\theta=\text{arctan}\left(\dfrac{1}{1}\right)=\text{arctan}(1)$. Por otra parte, el afijo de $z$ se encuentra en el primer cuadrante del plano de Argand (o plano complejo), pues $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$, luego $\theta=\dfrac{\pi}{4}$. Nota: Recordemos que los ángulos los expresamos en radianes.
En consecuencia, ya podemos escribir el número complejo en forma exponencial: $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$

Observación:

También podemos calcular el módulo de $z$ de la siguiente manera:
  $|z|=\left|\dfrac{2+i}{3-i}\right|$
      $=\dfrac{\left|2+i\right|}{\left|3-i\right|}$
        $=\dfrac{\sqrt{2^2+1^2}}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}$
          $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$
            $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5\cdot 2}}$
              $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}$
                $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                  $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

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