Una ecuación polinómica de tercer grado. Soluciones reales y complejas

En este ejercicio voy a resolver la ecuación $x^3+x^2+x+1=0$, en el conjunto de los números complejos.

Para ello, opto por factorizar, paso a paso, la expresión del primer miembro, recurriendo simplemente a las propiedades algebraicas elementales:
  $x^3+x^2+x+1=0$
    $x\cdot x^2+x^2+x+1=0$
      $x^2\,(x+1)+x+1=0$
        $x^2\,(x+1)+(x+1)=0$
          $(x+1)\,(x^2+1)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,\sqrt{-1}=\pm\,i\end{matrix}\right.$
Así pues, la solución viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-1,-i,i\}$

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Otro ejercicio de resolución de ecuaciones polinómicas

$x^4=(x-1)^4$
  $x^4-(x-1)^4=0$
    $(x^2)^2-\left((x-1)^2\right)^2=0$, y como la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de los mismos (identidad):
      $\left(x^2-(x-1)^2\right)\,\left(x^2+(x-1)^2\right)=0$
        $(x^2-x^2+2x-1)\,(x^2+x^2-2x+1)=0$
          $2x-1)\,(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\\ x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm i\sqrt{2}}{2}=1\pm i\end{matrix}\right.$
La solución consta pues de un valor real, $\dfrac{1}{2}$, y de dos valores complejos: $1-i$ y $1+i$.

-oOo- Nota:
  Las soluciones de la ecuación polinómica son, por supuesto, las raíces del polinomio $P(x):=x^4-(x-1)^4$. El hecho de que sólo aparezcan tres raíces es debido a que el polinomio $P(x)$ no es de grado cuatro, como podríamos pensar en un primer vistazo, sino de grado tres, pues si lo desarrollásemos en todos sus términos veríamos que los de grado cuatro se anulan, siendo tres el término de mayor grado, de ahí que aparezcan exactamente tres raíces (teorema fundamental del álgebra TFD: Todo polinomio no nulo, de una sola variable, de grado $n$ con coeficientes complejos (en particular, desde luego, pueden ser reales) tiene exactamente $n$ raíces complejas, contabilizando las multiplicidades de cada una de ellas). $\diamond$

Soluciones reales y complejas de ciertas ecuaciones polinómicas. Raíces reales y complejas de un polinomio

En este ejercicio, similar al anterior, nos proponemos encontrar todos los valores, reales o complejos, que componen la solución: $$(x-1)^3=-1$$

Recordemos que nuestro objetivo es escribir la ecuación original de manera que en un miembro tengamos un polinomio factorizado y en el otro miembro cero; de esta manera, pretendemos encontrar las raíces de dicho polinomio de una manera secilla. Dichas raíces son las soluciones de la ecuación planteada. Para facilitar la factorización, también en este ejercicio utilizaremos identidades notables; en concreto, $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$, que, como veremos, se adecúa al tipo de situación con la que nos encontraremos.

$(x-1)^3=-1$
  $(x-1)^3+1=0$
    $(x-1)^3+1^3=0$
    Empleando la identidad $(1)$, con $a:=x-1$ y $b:=1$, podemos escribir:
      $\left((x-1)+1\right)\,\left((x-1)^2-1\cdot (x-1)+1^2 \right)=0$
        $x\,(x^2-3x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=0 \\ x^2-3x+3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$
Así pues, la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{0, \dfrac{3- i\,\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{3}}{2}\}$$ $\diamond$

Una ecuación polinómica de grado $3$

Veamos cómo resolver la siguiente ecuación polinómica de tercer grado, sin recurrir a encontrar préviamente las raíces del polinomio del primer miebro (para luego factorizar): intentaremos factorizar directamente, valíendonos de algunas identidades notables. La ecuación es la siguiente: $$x^3-x^2+12=0$$

En concreto, las identidades que, como veremos enseguida, se adecúan bien a nuestro objetivo son: $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$ y $a^2-b^2=(a-b)\,(a+b) \quad (2)$. Procedamos:

$x^3-x^2+12=0$
  $x^3-x^2+2^3+2^2=0$
    $(x^3+2^3)-(x^2-2^2)=0$
      $\left((x+2)\,(x^2-2x+2^2)\right)-\left((x-2)\,(x+2)\right)=0$ (teniendo en cuenta $(1)$ en el primer término del primer miembro y $(2)$ en el segundo término)
        $(x+2)\,\left( (x^2-2x+2^2)-x+2 \right)=0$
          $(x+2)\,(x^2-3x+6)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x^2-3x+6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 6 \cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{15}}{2}\end{matrix}\right.$
Luego la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{-2, \dfrac{3- i\,\sqrt{15}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{15}}{2}\}$$ $\diamond$