Cálculo de raíces de un polinomio, empleando (si se tercia) identidades para factorizarlo

A modo de ejemplo, voy a calcular las ráices reales y complejas del polinomio $P(x)=x^3+27$

Para encontrar las raíces de un polinomio debemos imponer la definición de ráiz de un polinomio: $P(x)=0$. Entonces,
  $x^3+27=0$
    $x^3+3^3=0$
A continuación, para factorizar el primer miembro, utilizaré la identidad $$a^3\pm b^3=(a\pm b)\,(a^2\mp a\,b+b^2)$$
con lo cual, el último paso puede expresarse de la forma
    $(x+3)\cdot (x^2-3x+3^2)=0$
      $(x+3)(x^2-3x+9)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \\ x^2-3x+9 =0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ \\ \dfrac{-(3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}= \newline\quad \quad \quad =\dfrac{3\pm 3 \,\sqrt{3}\,i}{2} = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i \end{matrix}\right.$

El conjunto de ráices de $P(x)$ es pues $$\{ -3\in \mathbb{R}\,,\, \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C} \,,\, \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C}\}$$

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Una ecuación polinómica de grado $3$

Veamos cómo resolver la siguiente ecuación polinómica de tercer grado, sin recurrir a encontrar préviamente las raíces del polinomio del primer miebro (para luego factorizar): intentaremos factorizar directamente, valíendonos de algunas identidades notables. La ecuación es la siguiente: $$x^3-x^2+12=0$$

En concreto, las identidades que, como veremos enseguida, se adecúan bien a nuestro objetivo son: $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$ y $a^2-b^2=(a-b)\,(a+b) \quad (2)$. Procedamos:

$x^3-x^2+12=0$
  $x^3-x^2+2^3+2^2=0$
    $(x^3+2^3)-(x^2-2^2)=0$
      $\left((x+2)\,(x^2-2x+2^2)\right)-\left((x-2)\,(x+2)\right)=0$ (teniendo en cuenta $(1)$ en el primer término del primer miembro y $(2)$ en el segundo término)
        $(x+2)\,\left( (x^2-2x+2^2)-x+2 \right)=0$
          $(x+2)\,(x^2-3x+6)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x^2-3x+6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 6 \cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{15}}{2}\end{matrix}\right.$
Luego la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{-2, \dfrac{3- i\,\sqrt{15}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{15}}{2}\}$$ $\diamond$