Queremos encontrar la solución en $\mathbb{R}$ de la siguiente ecuación: $$x-x\,\sqrt{x}=-4$$
Antes de empezar con los pasos algebraicos, debemos darnos cuenta de que, para que $\sqrt{x}$ esté definida en el conjunto de los números reales, es necesario que $x\ge 0$; así pues, en la solución no caben números negativos, y, por otra parte, el cero, está claro que tampoco forma parte de la solución, pues si sustituimos $x$ por $0$ en la ecuación pedida obtenemos que $0-0=0\neq-4$. En definitiva, la solución que encontremos tiene que estar entre los números positivos. Dicho ésto, empecemos ahora con el álgebra:
$x-x\,\sqrt{x}=-4$
$x-x\,\sqrt{x}+4=0$, y denotando: $u=\sqrt{x}$, $u^2=x$, con lo cual:
$u^2-u^2\,u+4=0$
$u^2-u^3+4=0$
$-u^3+u^2+4=0$
$u^3-u^2-4=0$
$u^3-u^2-8+4=0$ (paso clave)
$(u^3-8)-(u^2-4)=0$
$(u^3-2^3)-(u^2-2^2)=0$, y empleando estas dos identidades: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ y $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$, podremos escribir lo anterior de la siguiente manera,
$(u-2)\,(u^2+2\,u+2^2)-(u-2)\,(u+2)=0$
$(u-2)\,\left(u^2+2\,u+2^2-(u+2)\right)=0$
$(u-2)\,\left(u^2+2\,u+4-u-2\right)=0$
$(u-2)\,\left(u^2+u+2\right)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u-2=0 \Rightarrow u=2 \overset{x=u^2}{\Rightarrow} x=2^2=4 \\ u^2+u+2=0\Rightarrow u=\dfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2} \notin \mathbb{R}\end{matrix}\right.$
Encontramos un sólo valor en la solución: $x=4$
Comprobación: Sustituyendo $x$ por $4$ en la ecuación pedida,
$4-4\,\sqrt{4}\overset{?}{=}-4$. En efecto, el valor del primer miembro, $4-4\,\sqrt{4}=4-4\cdot 2=4-8=-4$ conincide con el valor del segundo miembro.
$\diamond$
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