El uso de identidades puede facilitar la factorización de polinomios, para, por ejemplo, resolver una ecuación algebraica

He encontrado esta interesante ecucació $$x^4=(x-1)^4$$ Voy a resolverla en el conjunto de los números complejos

  $x^4=(x-1)^4$
    $x^4-(x-1)^4=0$
      $(x^2)^2-((x-1)^2)^2=0$
        $(x^2-(x-1)^2))(x^2+(x-1)^2))=0$
          $(x^2-(x^2-2x+1))(x^2+(x^2-2x+1))=0$
            $(x^2-x^2+2x-1)(x^2+x^2-2x+1)=0$ (aquí hago uso de la identidad $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
              $(2x-1)(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x-1=0 & (1) \\ x^2-2x+1=0 & (2)\end{matrix}\right.$

1. De $(1)$ se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
2. Y, de $(2)$, $x=\dfrac{1}{2}\\ 2\,x^2-2x+1 = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\dfrac{2\pm \sqrt{-4}}{4}=$
             $=\dfrac{2\pm \sqrt{ 4\cdot (-1)}}{4}=\dfrac{2 \pm \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}}{4}=\dfrac{2 \pm 2\cdot i}{4}=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{1}{2}\,i$

La solución está formada pues por dos valores complejos, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,i$ y $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\,i$, y un valor real, $\dfrac{1}{2}$. No ha de sorprendernos que obtengamos tres valores en la solución, y no cuatro, pues, en realidad, el polinomio $x^4-(x-1)^4$ es de tercer grado, ya que los términos de grado cuatro se anulan. $\diamond$