Un ejercicio de cálculo básico en el conjunto de los números complejos

Consideremos la siguiente operación: $$\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$$ ¿qué número resulta?

De entrada, ya nos damos cuenta de que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales. Veamos, no obstante, como desarrollar el cálculo aplicando las propiedades algebraicas conocidas, teniendo en cuenta (como ya sabemos) que $\sqrt{-1}$ es la unidad imaginaria $i$, esto es, el número complejo $0+1\cdot i$:
  $\sqrt{-4}\cdot \sqrt{-9}$
    $=\sqrt{-1\cdot 4}\cdot \sqrt{-1\cdot 9}=$
      $=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}\cdot \sqrt{9}$
        $=i\cdot \sqrt{4}\cdot i\cdot \sqrt{9}$
          $=i\cdot \sqrt{4}\cdot i\cdot \sqrt{9}$
            $=i\cdot 2\cdot i\cdot 3$
              $=i\cdot i\cdot 2\cdot 3$
              $=i^2\cdot 2\cdot 3$
                $=i^2\cdot 6$
                  $=(-1)\cdot 6$
                    $=-6$
Obsrvación: El que dé un número real esta operación cuyos operandos no son números reales no debe sorprendernos, ya que el conjunto de los números reales es un subconjunto de los números complejos; es decir, un número real forma parte también de los números complejos. En particular, podríamos decir que $-6$ es un número complejo cuya parta imaginaria es cero: $-6=-6+0\cdot i$ $\diamond$

$(-2)^x=2$

Vamos a encontrar la solución de la siguiente ecuación $$(-2)^x=2$$

Para empezar, y lo que vamos a decir es importante, observemos que, buscando entre el conjunto de los números reales, el dominio de definición de la función $f(x)=(-2)^x$ se reduce al conjunto de los números enteros; en efecto, podemos calcular sin problema la imagen (dentro del conjunto de los números racionales) de un número entero como, por ejemplo, $-3$: $f(-3)=(-2)^{-3}=(-2)^{3\cdot (-1)}=((-2)^{3})^{-1}=\dfrac{1}{(-2)^3}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}$, pero si intentamos calcular la imagen de un número decimal, vemos enseguida que no la tiene; para poner de relieve esto, pongamos por ejemplo que $x=1,1$, entonces si denotamos $t=(-2)^{1,1}$, la única manera de calcular dicho valor $t$ (es decir, el valor de la función en $x=1,1$) pasa por extraer logaritmos en cada miembro, para, a continuación, utilizar la propiedad recíproca que define el logaritmo: sacando logaritmos, $\ln(t)=\ln\,((-2)^{1,1})=1,1\cdot \ln(-2)$, pero ya sabemos que el logaritmo de un número negativo no está definido, luego la función $(-2)^x$ sólo está definida para números enteros; es decir, en ese sentido, es una función discreta, pues envía números enteros al conjuntos de los números racionales, que, en particular, pueden ser enteros; el recorrido de la función es el conjunto de los números racionales.

Es evidente que, habiendo visto que no podemos pensar en números reales que no sean los enteros (como números candidatos a la solución de la ecuación). Y, si observamos la tabla numérica de la función $f(x)=(-2)^x;x\in \mathbb{Z}$, elaborada para unos cuantos (suficientes) valores de $x\in \mathbb{Z}$, salta a la vista que la ecuación propuesta no tiene solución: no hay ningún número entero, positivo, negativo que satisfagan la igualdad a $2$, y tampoco el cero la satisface, ya que $(-2)^0=1\neq 2$

Como consecuencia de estos razonamientos, la solución no está, en definitiva, en el conjunto de los números reales, por lo que es claro que, de haberla, deberemos buscar entre los números complejos. Para ello, démonos cuenta de que: $(-2)^x=2$ puede escribirse de la forma $((-1)\cdot 2)^x=2$. Ahora bien, por la fórmula de Euler, $e^{i\,\alpha}=\cos(\alpha)+i\,\sin(\alpha); \alpha\in \mathbb{R}$, podemos escribir $-1$ de la forma $e^{i\,\pi}$ ya que $e^{i\,\pi}=\cos(\pi)+i\,\sin(\pi)=-1+i\cdot 0=-1$; y, de una manera más general: $-1=e^{i\,(2n-1)\,\pi};\,n\in \mathbb{N}$, ya que al ser $2n-1$ un número natural impar, $\cos((2n-1)\,\pi)=-1$ y $\sin((2n-1)\,\pi)=0$.

Entonces,
  $(-2)^x=2$
    $((-1)\cdot 2)^x=2$
      $(e^{i\,(2n-1)\,\pi}\cdot 2)^x=2$
        $(e^{i\,(2n-1)\,\pi})^x\cdot 2^x=2$
          $e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x} \cdot 2^x=2$
            $\ln\left(e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x} \cdot 2^x\right)=\ln(2)$
              $\ln\left(e^{i\,(2n-1)\,\pi\,x}\right)+\ln\left( 2^x\right)=\ln(2)$
                $i\,(2n-1)\,\pi\,\ln(e)\,x+x\,\ln\left( 2\right)=\ln(2)$
                  $i\,(2n-1)\,\pi\cdot 1 \,x+x\,\ln\left( 2\right)=\ln(2)$
                    $\left( i\,(2n-1)\,\pi+\ln\left( 2\right)\right)\,x=\ln(2)$
                      $x=\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,(2n-1)\,\pi};\,n=1,2,3,4,\ldots \quad (1)$

En conclusión: la solución consta de los infinitos valores de $(1)$ $$\displaystyle x=\{\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,\pi},\,\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,3\,\,\pi},\,\dfrac{\ln(2)}{\ln\left( 2\right)+i\,5\,\,\pi},\,\ldots \}$$ $\diamond$

Resolución de una ecuación típica de las que aparecen en la Olimpiada Matemática

Calculemos las solución reales y complejas de la ecuación $$x^3+x=30$$

Según el teorema fundamental del álgebra, al ser el grado de la ecuación pedida $3$, deberemos encontrar, considerando las multiplicidades, $3$ raíces complejas (incluidas, aquellas en las que su parte imaginaria es cero, esto es, las raíces reales):
  $x^3+x=30$
    $x^3+x-30=0$
      $x^3+x-27-3=0$ (paso clave)
        $x^3-27+x-3=0$
          $x^3-3^3+x-3=0$
            $(x^3-3^3)+(x-3)=0$
              $(x-3)(x^2+3x+3^2)+(x-3)=0$, por la identidad $a^3-b^3=(a-b)(a^2+a\,b+b^2)$
                $(x-3)\,( (x^2+3x+3^2)+ 1)=0$
                  $(x-3)\,( x^2+3x+9+ 1)=0$
                    $(x-3)\,( x^2+3x+10)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-3= 0 \Rightarrow x_1=3 \in \mathbb{R}\\ x^2+3x+10=0 \Rightarrow x_{2,3}=\dfrac{-3\pm i\,\sqrt{31}}{2} \in \mathbb{C}\end{matrix}\right.$
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Un ejemplo de resolución de una ecuación polinómica en el conjunto de los números complejos

En este ejercicio voy a obtener los números reales y complejos que satisfacen la igualdad $x^5+x=0$, recurriendo a las propiedades básicas del álgebra.

  $x^5-x=0$
    $x\,(x^4-1)=0$
      $x\,((x^2)^2-1^2)=0$
        $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0$ , por la identidad $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$
Entonces,
  $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\,1 \\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,i \end{matrix} \right.$ Luego el conjunto pedido es $\{-1,0,1,-i,i\}$

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Una ecuación polinómica de tercer grado. Soluciones reales y complejas

En este ejercicio voy a resolver la ecuación $x^3+x^2+x+1=0$, en el conjunto de los números complejos.

Para ello, opto por factorizar, paso a paso, la expresión del primer miembro, recurriendo simplemente a las propiedades algebraicas elementales:
  $x^3+x^2+x+1=0$
    $x\cdot x^2+x^2+x+1=0$
      $x^2\,(x+1)+x+1=0$
        $x^2\,(x+1)+(x+1)=0$
          $(x+1)\,(x^2+1)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,\sqrt{-1}=\pm\,i\end{matrix}\right.$
Así pues, la solución viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-1,-i,i\}$

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Cálculo del ángulo entre dos números complejos en el diagrama de Argand (plano complejo)

Consideremos los números complejos $w=-1+2i$ y $z=1+3i$, ¿qué ángulo forman entre sí?

Observemos que el afijo de $w$ está en el segundo cuadrante del plano de Argand, pues $\mathcal{Re}(w)\lt 0$ y $\mathcal{Im}(w)\gt 0$; y, el afijo de $z$ está en el primer cuadrante, ya que $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$. Así pues $90^{\circ}\lt \text{Arg}(w) \lt 180^{\circ}$, mientras que $0^{\circ}\lt \text{Arg}(z) \lt 90^{\circ}$. Nota: En este ejercicio, por comodidad, he decidido expresar los ángulos en grados sexagesimales.

Calculo ahora los argumentos principales, aproximando a la cifra de las unidades: $\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{3}{1})=\text{arctan}(3)\approx 72^{\circ}$ y $\text{Arg}(w)=\text{arctan}\left( \dfrac{\mathcal{Im}(w)}{\mathcal{Re}(w)} \right)=\text{arctan}\,(\dfrac{2}{-1})=\text{arctan}(-2)\approx 117^{\circ}$

El ángulo que forman los dos números complejos en el plano de Argand será por tanto igual a la diferencia (en valor absoluto) de los argumentos principales: $$\measuredangle(w,z)=|\text{Arg}(w)-\text{Arg}(z)|=117^{\circ}-72^{\circ}=45^{\circ}$$ $\diamond$

Un ejercicio para hallar la forma exponencial de un número complejo

Sea el número complejo $$z=\dfrac{2+i}{3-i}$$ Me propongo expresarlo de la forma $$z=|z|\cdot e^{i\,\theta}$$ donde $\theta$ es el ángulo polar y $|z|$ denota el módulo de dicho número complejo

Podemos calcular el módulo $|z|$ de varias maneras. Una de ellas consiste en manejar el cociente con el que se define dicho número para expresarlo en forma binómica, $z=a+ib$, con $a,b\in \mathbb{R}$, y, a continuación, hallar su módulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Procedo de esta manera:
  $z=\dfrac{2+i}{3-i}$. Multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado del denominador:
    $=\dfrac{2+i}{3-i}\dfrac{3+i}{3+i}$
      $=\dfrac{(2+i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}$
        $=\dfrac{6+(3+2)i+i^2}{(3^2+3i-3i-i^2}$
          $=\dfrac{6+5i+-(1)}{(3^2-(-1)}$
            $=\dfrac{5+5i}{10}$
              $=\dfrac{5(1+i)}{10}$
                $=\dfrac{1}{2}\cdot (1+i) \quad (1)$
Entonces,
  $|z|=|\dfrac{1}{2}|\cdot |1+1\cdot i|$
    $=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
        $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
De $(1)$ podemos deducir ya el ángulo polar de $z$, para el que tomamos el argumento principal del mismo, $\theta =\text{Arg}(z)$, con $0\le \text{Arg}(z) \le 2\pi$:
  $\theta=\text{Arg}(z):=\arctan\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$, y teniendo en cuenta que $\text{Arg}\left(\dfrac{1}{2}\,(1+i)\right)=\text{Arg}(1+i)$, se tiene que, como $\mathcal{Re}(1+i)=1$ y $\mathcal{Im}(1+i)=1$, $\theta=\text{arctan}\left(\dfrac{1}{1}\right)=\text{arctan}(1)$. Por otra parte, el afijo de $z$ se encuentra en el primer cuadrante del plano de Argand (o plano complejo), pues $\mathcal{Re}(z)\gt 0$ y $\mathcal{Im}(z)\gt 0$, luego $\theta=\dfrac{\pi}{4}$. Nota: Recordemos que los ángulos los expresamos en radianes.
En consecuencia, ya podemos escribir el número complejo en forma exponencial: $$\displaystyle z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$

Observación:

También podemos calcular el módulo de $z$ de la siguiente manera:
  $|z|=\left|\dfrac{2+i}{3-i}\right|$
      $=\dfrac{\left|2+i\right|}{\left|3-i\right|}$
        $=\dfrac{\sqrt{2^2+1^2}}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}$
          $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$
            $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5\cdot 2}}$
              $=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}$
                $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                  $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

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Un cálculo interesante con números complejos

En este ejercicio de cálculo con números complejos se pide hallar el resultado de la siguiente operación $$\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$$ lo cual sirve de comprobación de la solución encontrada en este otro ejercicio de resolución de ecuaciones.

Para ello, utilizaremos la fórmula de Euler: siendo $z=a+i\,b$ ($a,b\in \mathbb{R}$ ) un número complejo, entonces puede expresarse de la forma $z=|z|\,e^{i\,\theta}=|z|\,(\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta)$, donde $|z|$ es el módulo de dicho número y $\theta$ es su ángulo polar, esto es $\theta=\text{arctan}\,\left(\dfrac{b}{a}\right)$, donde, a la hora de determinar el cuadrante donde se sitúa el afijo de dicho número en el plano de Argand, los signos de $b$ y $a$.

Por la fórmula de Euler, $2i=2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}$; en efecto, $2\,e^{i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,\frac{\pi}{2}+i\,\sin\,\frac{\pi}{2})=2\,(0+i)=2i$ y $-2i=2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}$, ya que $2\,e^{-i\,\frac{\pi}{2}}=2\,(\cos\,(-\frac{\pi}{2})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{2}))=2\,(0-i)=-2i$
Entonces, podemos expresar $\sqrt{2i}+\sqrt{-2i}$ de la siguiente forma,
  $\sqrt{2\,e^{i\frac{\pi}{2}}}+\sqrt{2\,e^{-i\frac{\pi}{2}}}$
    $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}\,\left(e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$
      $\sqrt{2}\cdot\left(e^{i\frac{\pi}{4}}+e^{-i\frac{\pi}{4}}\right)$
        $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\cos\,(\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(\frac{\pi}{4})\right)+\left(\cos\,(-\frac{\pi}{4})+i\,\sin\,(-\frac{\pi}{4})\right)\right)$
          $\sqrt{2}\cdot\left(\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
            $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\,\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
              $\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\,\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$
                $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot 0\right)$
                  $\sqrt{2}\cdot\left(2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+0\right)$
                    $\sqrt{2}\cdot 2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
                      $2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
                        $2\cdot 1$
                          $2$
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Otro ejercicio de resolución de ecuaciones polinómicas

$x^4=(x-1)^4$
  $x^4-(x-1)^4=0$
    $(x^2)^2-\left((x-1)^2\right)^2=0$, y como la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de los mismos (identidad):
      $\left(x^2-(x-1)^2\right)\,\left(x^2+(x-1)^2\right)=0$
        $(x^2-x^2+2x-1)\,(x^2+x^2-2x+1)=0$
          $2x-1)\,(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\\ x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm i\sqrt{2}}{2}=1\pm i\end{matrix}\right.$
La solución consta pues de un valor real, $\dfrac{1}{2}$, y de dos valores complejos: $1-i$ y $1+i$.

-oOo- Nota:
  Las soluciones de la ecuación polinómica son, por supuesto, las raíces del polinomio $P(x):=x^4-(x-1)^4$. El hecho de que sólo aparezcan tres raíces es debido a que el polinomio $P(x)$ no es de grado cuatro, como podríamos pensar en un primer vistazo, sino de grado tres, pues si lo desarrollásemos en todos sus términos veríamos que los de grado cuatro se anulan, siendo tres el término de mayor grado, de ahí que aparezcan exactamente tres raíces (teorema fundamental del álgebra TFD: Todo polinomio no nulo, de una sola variable, de grado $n$ con coeficientes complejos (en particular, desde luego, pueden ser reales) tiene exactamente $n$ raíces complejas, contabilizando las multiplicidades de cada una de ellas). $\diamond$

Una ecuación polinómica de grado $3$

Veamos cómo resolver la siguiente ecuación polinómica de tercer grado, sin recurrir a encontrar préviamente las raíces del polinomio del primer miebro (para luego factorizar): intentaremos factorizar directamente, valíendonos de algunas identidades notables. La ecuación es la siguiente: $$x^3-x^2+12=0$$

En concreto, las identidades que, como veremos enseguida, se adecúan bien a nuestro objetivo son: $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$ y $a^2-b^2=(a-b)\,(a+b) \quad (2)$. Procedamos:

$x^3-x^2+12=0$
  $x^3-x^2+2^3+2^2=0$
    $(x^3+2^3)-(x^2-2^2)=0$
      $\left((x+2)\,(x^2-2x+2^2)\right)-\left((x-2)\,(x+2)\right)=0$ (teniendo en cuenta $(1)$ en el primer término del primer miembro y $(2)$ en el segundo término)
        $(x+2)\,\left( (x^2-2x+2^2)-x+2 \right)=0$
          $(x+2)\,(x^2-3x+6)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x^2-3x+6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 6 \cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{15}}{2}\end{matrix}\right.$
Luego la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{-2, \dfrac{3- i\,\sqrt{15}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{15}}{2}\}$$ $\diamond$

Una ecuación que os causará sorpresas

Encaremos el siguiente reto (propio de Olimpiada Matemática), que consiste en intentar resolver la ecuación en el conjunto de los números complejos: $$1^x=2$$

Veamos, primero, que no es posible encontrar soluciones en el conjunto de los números reales. En efecto, podemos interpretar el miembro de la izquierda como la función real de una variable real: $f(x):=1^x=1 \,\forall, x\in \mathbb{R}$; es decir, es la función constante, con todas las ordenadas igual a $1$. Por otra parte, el segundo miembro, $g(x):=2$ es también una función constante, pero con todas las ordenadas igual a $2$. Es claro que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ no van a intersecarse, puesto que $1\neq 2$, luego la ecuación no tiene solución en $\mathbb{R}$.

Sin embargo, como enseguida vamos a ver, la ecuación planteada sí tiene solución en el conjunto de los números complejos. Para ello, vamos a recordar la fórmula de Euler: $$e^{i\,\theta}=\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta$$ siendo $\theta$ un ángulo en el plano complejo.

Entonces, démonos cuenta de que el $1$ de la base de la potencia $1^x$ del primer miembro puede escribirse de la forma $1=e^{i\,2k\pi}, \text{con}\;k\in \mathbb{Z}$. En consecuencia, la ecuación planteada, $1^x=2$, puede escribirse de la forma $$\displaystyle \left(e^{i\,2k\pi}\right)^x=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ que podemos escribir de la forma $$\displaystyle e^{i\,2k\,\pi\,x}=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ Operando con el logaritmo neperiano en cada miembro, $$\displaystyle \ln\,e^{i\,2k\,\pi\,x}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ y por tanto, $$\displaystyle i\,2k\,\pi\,x \cdot \underset{1}{\underbrace{\ln\,e}}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ en consecuencia, la solución consta de infinitos números complejos, con la siguiente estructura:
$$x=\dfrac{\ln\,2}{2k\,\pi\,i}=\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi\,i^2}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi};\text{donde}\; \mathbb{Z} \ni k \neq 0$$ esto es, $$\displaystyle x\in \left\{ \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{2\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{4\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{6\,\pi}, \ldots \right\}$$

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Desigualdades básicas entre los módulos de los números complejos que aparecen al sumarlos o restarlos

No se puede establecer una relación de orden en los números complejos y por tanto no tiene sentido plantearnos si uno es mayor o menor que otro; sin embargo, sí podemos comparar los módulos (se indica el módulo de un número complejo $z$ mediante la notación $|z|$) de los mismos, ya que el módulo de un número complejo es un número real.

Podéis comprobar que, para cualesquiera $z,w\in \mathbb{C}$, las siguientes relaciones son válidas:

1. $|z+w|\le |z|+|w|$ (esta desigualdad se conoce como desigualdad triangular, y es la análoga a la que ya conocéis para la suma de vectores)
2. $|z-w|\le |z|+|w|$
   En estas dos que siguen, el primer y último símbolo $|$ corresponde al valor absoluto del número real (véase (1)) que se obtiene al realizar la diferencia de los módulos de $w$ y $z$, $|z|-|w|\in \mathbb{R}$:
   
3. $|z+w|\ge ||z|-|w||$
4. $|z-w|\ge ||z|-|w||$

-oOo-

Observación/comentario:

Estas mismas relaciones también son válidas en la recta de los números reales (en la que sí hay definida una relación de orden, y, por tanto puede establecerse la diferencia entre dos números reales cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$). En la versión de estas propiedades para los números reales, hay que tener en cuenta que, ahora, la notación $|.|$ indica siempre la operación valor absoluto: $$|x|:=\left\{\begin{matrix}x & \text{si} & x\ge 0 \\ -x & \text{si} & x\lt 0 \end{matrix}\right.\quad (1)$$

1. $|a+b|\le |a|+|b|$
2. $|a-b|\le |a|+|b|$
3. $|a+b|\ge ||a|-|b||$
4. $|a-b|\ge ||a|-|b||$

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Ecuaciones con soluciones complejas

Me he encontrado con esta ecuación trascendente $$\sqrt{x}+\sqrt{-x}=1$$ Voy a resolverla. Antes de empezar, observemos que $x$ ha de ser distinto de $0$, pues es evidente que de ser ésta $0$ se tendría que $\sqrt{0}+\sqrt{0}=0\neq 1$, que es una contradicción. Por otra parte, si $x\gt 0$, es claro que $\sqrt{x}\in \mathbb{R}$; pero, entonces $-x\lt 0$ y por tanto $\sqrt{-x}\in \mathbb{C}$, luego deberemos buscar la solución en el conjunto de los números complejos, $\mathbb{C}$. Dicho esto, comencemos con los pasos algebraicos necesarios para el despeje de la incógnita $x$.

  $\sqrt{x}=1-\sqrt{-x}$
    $(\sqrt{x})^2=(1-\sqrt{-x})^2$
      $x=1-2\,\sqrt{-x}+(\sqrt{-x})^2$
        $x=1-2\,\sqrt{-x}+(-x)$
          $x-(-x)=1-2\,\sqrt{-x}$
            $2x=1-2\,\sqrt{-x}$
              $2x-1=-2\,\sqrt{-x}$
                $(2x-1)^2=(-2\,\sqrt{-x})^2$
                  $4x^2-2\cdot 2x+1=(-2)^2\,(\sqrt{-x})^2$
                    $4x^2-4x+1=4\,(-x)$
                      $4x^2-4x+1=-4x$
                        $4x^2-4x+4x+1=0$
                          $4x^2=-1$
                            $(2x)^2=-1$
                              $\sqrt{(2x)^2}=\pm\sqrt{-1}$
                                $2x=\pm i$
                                  $x=\pm \dfrac{1}{2}\,i$
Hemos encontrado pues dos valores: $x_1=\dfrac{1}{2}\,i$ y $x_2=-\dfrac{1}{2}\,i$, que, como candidatos a formar parte de la solución, debemos comprobar a continuación.

Comprobación:

El primer valor encontrado, $x_1=\dfrac{1}{2}\,i$, verifica la igualdad pedida. En efecto,
$\sqrt{\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-\dfrac{i}{2}}\overset{?}{=}1$
  $\sqrt{\dfrac{e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}}{2}}+\sqrt{\dfrac{e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}}{2}}=$
    $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}}$
      $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( \left( e^{i\,\dfrac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\left( e^{-i\,\dfrac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \right)$
        $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( e^{i\,\dfrac{\pi}{4}}+e^{-i\,\dfrac{\pi}{4}} \right)$
          $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,\left( \left( \cos\,\dfrac{\pi}{4}+i\,\sin\,\dfrac{\pi}{4} \right)+\left( \cos\,\dfrac{-\pi}{4}+i\,\sin\,\dfrac{-\pi}{4} \right) \right)$
            $=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\,\cos\,\dfrac{\pi}{4})$
              $=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot (2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
                $=1$

Por otra parte, para el segundo valor encontrado, $x_2=-\dfrac{1}{2}\,i$, nos preguntamos si $\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-(-\dfrac{i}{2})}\overset{?}{=}1$. Veamos que así es; en efecto, $\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-(-\dfrac{i}{2})}=\sqrt{-\dfrac{i}{2}}+\sqrt{\dfrac{i}{2}}=\sqrt{\dfrac{i}{2}}+\sqrt{-\dfrac{i}{2}}=1$, tal como acabamos de comprobar para $x_1$.

Por consiguiente, ambos valores encontrados satisfacen la igualdad algebraica planteada (la ecuación), luego los dos forman parte de la solución. $\diamond$

Elemento neutro con respecto de la multiplicación de números complejos

Consideremos el cuerpo de los números complejos $(\mathbb{C},+,.)$. Vamos a demostrar que el elemento neutro del mismo con respecto de la operación producto de números complejos es $(1,0)$

Recordemos que todo número complejo $z$ viene dado por un par ordenado de números reales $(a,b)$, y que se define el producto de dos números complejos de la forma $z_1=:(a_1,b_1)$ y $z_2=:(a_2,b_2)$ de la forma $z_1\cdot z_2:=(a_1\,a_2-b_1\,b_2,a_1\,b_2+a_2\,b_1)$.

Entonces, el elemento neutro con respecto de la multiplicación de números enteros, $n=:(n_1,n_2)$, ha de ser único y tal que para todo $\mathbb{C} \ni z=:(a,b)$, donde $a,b \in \mathbb{R}$, se cumpla que $z\,n\overset{\text{conmutatividad de}\,\cdot}{=}n\,z=z$. Por tanto, $n \cdot z=(n_1,n_2)\cdot (a,b):=(n_1\,a-n_2\,b,n_1\,b+n_2\,a)=(a,b) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n_1\,a&-&n_2\,b&=&a \\ n_1\,b&+& n_2\,a&=&b\end{matrix}\right.$
  $\overset{-(b/a)\,f_1+f_2 \rightarrow f_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}n_1\,a&-&n_2\,b&=&a \\ &&\dfrac{a^2+b^2}{a}\,n_2&=&0& \Rightarrow n_2=0\end{matrix}\right.$ y, por tanto, sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se obtiene $n_1=1$, con lo cual $n=(1,0)$.

Demostremos ahora la unicidad de dicho elemento neutro. Procedamos por reducción al absurdo, suponiendo que no lo es, esto es, que al menos existe un $n'=:(n'_1\,n'_2) \neq n=:(n_1,n_2)$. Entonces, $z=z\,n=z\,n'$, con lo cual $\left\{\begin{matrix} a\,n_1-b\,n_2 = a\,n'_1-b\,n'_2 \\ b\,n_1+a\,n_2 = b\,n'_1+a'\,n_2 \end{matrix}\right.$, es decir $\left\{\begin{matrix} a\,(n_1-n'_1) = b\,(n_2-n'_2) \\ b\,(n_1-n'_1) = a\,(n_2-n'_2) \end{matrix}\right. \Rightarrow n_1=n'_1 \quad \text{y} \quad n_2=n'_2$, en contradicción con la hipótesis de partida. $\diamond$

Logaritmo de un número complejo

Vamos a calcular el logaritmo de un número complejo $z=a+ib$, donde $\mathcal{Re}(z)=a$ es la parte real, y $\mathcal{Im}(z)=b$ es la parte imaginaria, siendo $a,b\in \mathbb{R}$.

Para ello, nos conviene primero expresar el número complejo según la forma de Euler: $\displaystyle z=|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}$, donde $\text{arg}(z)=\text{Arg}(z)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, siendo $-\pi \lt \text{Arg}(z) \lt \pi$ el argumento principal (expresado en radianes), y, como sabemos, viene dado por $$\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$$

Desde luego, el logaritmo pedido es un número complejo $\mathbb{C} \ni w=\ln(z)=c+id$, con $c=\mathcal{Re}(w),d=\mathcal{Im}(w)$, y por supuesto $c,d\in \mathbb{R}$, por lo tanto, $\ln\left(|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}\right)=c+id$. Teniendo en cuenta que $\ln\,e^{i\,\text{arg}(z)}=i\,\text{arg}(z)$, se tiene que $\displaystyle \ln\,|z|+i\,\left(\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi\right)=c+id$. Así pues, $c=|z|$ y $d=\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$.

-oOo-

Ejemplo. Sea $z=2+i$. Nos proponemos calcular $\ln\,z$. Pues bien, $\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\,\text{Arg}(z)+2k\pi}$ siendo en este caso el argumento principal $0\lt \text{Arg}(z)=\text{arctan}(1/2)\lt \pi/2$, ya que tanto la parte real como la parte imaginaria de $z$ son positivas (el afijo de dicho número se encuentra en el primer cuadrante). En consecuencia, $\ln\,z = c+ id$, con $c=\ln\,\sqrt{5}$ y $d=\text{arctan}(1/2)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, y vemos que, con ayuda de la calculadora, $\sqrt{5}\approx 0,8047$ y $\text{arctan}(1/2) \approx 0,4636\,\text{rad}$, luego el logaritmo pedido es $$\{\sqrt{5}+i\,\text{arctan}(1/2)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+2\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+4\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+6\pi)\,,\,\ldots\}$$ $\diamond$

Potenciación de números coplejos ( con exponente un número natural )

ENUNCIADO. Se considera el número complejo $z=-1+i$. Calcúlese $z^5$.

SOLUCIÓN. Como la parte real de $z$ es $-1$ y la parte imaginaria es $1$, su afijo está en el segundo cuadrante y $\text{arg}(z)=\arctan\,\left(\dfrac{1}{-1}\right)=\dfrac{3}{4}\,\pi$ rad. Y el módulo de $z$ es $|\sqrt{(-1)^2+1^2}|=|\sqrt{2}|$

Por la fórmula de De Moivre, tenemos que $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \cos\,(5\cdot \dfrac{3}{4}\,\pi) + i\,\sin\,(5\cdot \dfrac{3}{4}\,\pi) \right)$$ esto es $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \cos\,(\dfrac{15}{4}\,\pi) + i\,\sin\,(\dfrac{15}{4}\,\pi) \right)\quad \quad [1]$$ Teniendo en cuenta ahora que $\dfrac{15}{4}=3+\dfrac{3}{4}$ podemos escribir $$\dfrac{15}{4}\,\pi = 3\,\pi+\dfrac{3}{4}\,\pi = 2\,\pi + (\pi +\dfrac{3}{4}\,\pi ) = 2\,\pi + \dfrac{7}{4}\,\pi$$ siendo $\dfrac{7}{4}\,\pi=\dfrac{3}{2}\,\pi + \dfrac{1}{4}\,\pi$ y por tanto está en el cuarto cuadrante. Por consiguiene $$\cos\,(\dfrac{15}{4}\,\pi)=\cos\,(2\,\pi+\dfrac{7}{4}\,\pi)=\cos\,(\dfrac{7}{4}\,\pi)=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$ y $$\sin\,(\dfrac{15}{4}\,\pi)=\sin\,(2\,\pi+\dfrac{7}{4}\,\pi)=\sin\,(\dfrac{7}{4}\,\pi)=-\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$ luego, sustituyendo en [1], $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \dfrac{|\sqrt{2}|}{2}-i\,\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}\right)$$ y simplificando obtenemos $$z^5=\dfrac{(|\sqrt{2}|)^6}{2}\,( 1-i)=\dfrac{2^3}{2}\,(1-i)=4\,(1-i)$$
$\square$

Cálculos con números complejos

ENUNCIADO.
(a) Hállese la parte real y la parte imaginaria de la siguiente expresión $z=\dfrac{2\,i^3-4\,i^2}{3+3\,i}$
(b) Hállese la longitud del lado ( en el diagrama de Argand ) del polígono que se forma al unir los afijos consecutivos de los valores de $\sqrt[3]{-3\sqrt{2}+3\,\sqrt{2}\,i}$
(c) Simplifíquese el miembro izquierdo de la igualdad $\dfrac{2-x\,i^2+3\,i^7}{4+3\,i}=a-b\,i$ y hállese $a$ y $b$ en función de $x$.

SOLUCIÓN.
(a)
$\dfrac{2\,i^3-4\,i^2}{3+3\,i}=$
  $=\dfrac{2\,i^2\,(i-2)}{3(1+i)}$
    $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{i-2}{1+i}$
      $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{i-2}{1+i}\cdot \dfrac{1-i}{1-i}$
        $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{(i-2)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$
          $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{-i^2+3i-2}{1-i^2}$
            $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{-1+3i}{1-(-1)}$
              $=-\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{-1+3i}{2}$
                $=\dfrac{1}{3}\cdot (1-3i)$
                  $=\dfrac{1}{3}+(-1)\, i \Rightarrow \left\{\begin{matrix}\mathcal{Re}(z)=\dfrac{1}{3}\\ \mathcal{Im}(z)=-1\end{matrix}\right.$

(b)
$\sqrt[3]{-3\sqrt{2}+3\,\sqrt{2}\,i}=$
  $=\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\,\left( \sqrt[3]{-1+i} \right)=\left\{\begin{matrix}\left(\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)_{\theta_1} \\ \left(\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)_{\theta_2} \\ \left(\sqrt[3]{3\sqrt{2}}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}}\right)_{\theta_3}\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}\left(\sqrt[3]{6}\right)_{\theta_1} \\ \left(\sqrt[3]{6}\right)_{\theta_2} \\ \left(\sqrt[3]{6}\right)_{\theta_3}\end{matrix}\right.\overset{(1)}{=}\left\{\begin{matrix}\left(\sqrt[3]{6}\right)_{45^{\circ}} \\ \left(\sqrt[3]{6}\right)_{165^{\circ}} \\ \left(\sqrt[3]{6}\right)_{285^{\circ}}\end{matrix}\right.$

---
Aclaraciones (1):
$\theta_1=\dfrac{\text{arg}(-1+i)+360^{\circ}\cdot 0}{3}=\dfrac{135^{\circ}+360^{\circ}\cdot 0}{3}=45^{\circ}$
$\theta_2=\dfrac{\text{arg}(-1+i)+360^{\circ}\cdot 1}{3}=\dfrac{135^{\circ}+360^{\circ}\cdot 1}{3}=165^{\circ}$
$\theta_3=\dfrac{\text{arg}(-1+i)+360^{\circ}\cdot 12}{3}=\dfrac{135^{\circ}+360^{\circ}\cdot 2}{3}=285^{\circ}$
---
Los ángulos centrales son igual a $165^{\circ}-45^{\circ}=285^{\circ}-165^{\circ}=55^{\circ}+(360^{\circ}-285^{\circ})=120^{\circ}$, por lo que los ángulos interiores del polígono regular que se forma uniendo los afijos consecutivos son de $60^{\circ}$ y por tanto, el polígono que se forma es un triángulo equilátero. Podemos resumir los resultados encontrados en la siguiente figura.

El radio de la circunferencia circunscrita es igual al módulo de los tres resultados complejos de la raíz cúbica pedia, $\sqrt[3]{6}$. Por tanto, del triángulo $\triangle(O,B,C)$ vemos que $\ell/2=r\cdot \cos (60^{\circ}/2)$ y por tanto, $\ell= 2\,\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt[3]{6}\cdot \sqrt{3}=\sqrt[6]{2^{2}\cdot 3^5}$ unidades de longitud.


(c)
$\dfrac{2-x\,i^2+3\,i^7}{4+3\,i}=a-b\,i$
  $\dfrac{2-(-1)\,x+3\,i^3}{4+3\,i}=a-b\,i$
                puesto que $i^2=-1$ y $i^7=i^{\text{resto}(7\div 4)}=i^3=i\cdot i^2=(-1)\,i=-i$
    $\dfrac{2-(-1)\,x-3\,i}{4+3\,i}=a-b\,i$
      $\dfrac{(2+x)-3\,i}{4+3\,i}\cdot \dfrac{4-3i}{4-3i}=a-b\,i$
        $\dfrac{((2+x)-3\,i)(4-3i)}{(4+3i)(4-3i)}=a-b\,i$
          $\dfrac{(4x-1)-i(3x+18)}{25}=a-b\,i$
            $\dfrac{4x-1}{25}-i\dfrac{3x+18}{25}=a-b\,i$
              $\dfrac{4x-1}{25}-3\,i\,\dfrac{x+6}{25}=a-b\,i \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=\dfrac{4x-1}{25}\\ b=\dfrac{3\,(x+6)}{25}\end{matrix}\right.$


$\square$

Cálculo del cociente de dos números complejos empleando la forma binómica

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente cociente: $$\dfrac{1+i}{1+2i}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado del denominador, el cociente pedido
$\dfrac{1+i}{1+2i}$
es igual a
  $\dfrac{1+i}{1+2i}\cdot \dfrac{1-2i}{1-2i}=$

    $=\dfrac{(1+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

      $=\dfrac{1-2\,i^2+i-2i}{1^2-(2i)^2}$

        $=\dfrac{1-(-1)\cdot 2+i(1-2)}{1-(-1)\cdot 2^2}$

          $=\dfrac{3-i}{5}$

            $=\dfrac{1}{5}\,(3-i)$

              $=\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}\,i$

$\square$

Ejercicios diversos con números complejos ...

4. Calculeu $\sqrt{1+i}$

Sabem, d'antuvi, que trobarem dos nombres (complexos) del tipus $x+y\,i$

per tant, escriurem que

$\sqrt{1+i}=x+y\,i$

Fent la potència al quadrat d'ambdós membres

$1+i=x^2-y^2 + 2xy\,i$

Llavors, per tal que es compleixi la igualtat caldrà igualar les parts reals dels dos membres, i, naturalment, també les parts imaginàries; obtindrem, per tant, un sistema de dues equacions de variable real

$1=x^2 - y^2 \quad \quad \text{(1)}$

$1=2xy \quad \quad \quad \; \; \text{(2)}$

Aïllant la variable $y$ de (2) i substituint l'expressió resultant en (1) trobem

$4x^4-4x^2-1=0$

equació biquadrada que resoldrem fent el canvi de variable $x^2=t$, transformant-la en una equació de 2n grau

$4t^2-4t-1=0$

que té les següents solucions

$t=\dfrac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Desfent, ara, el canvi de variable $x=\sqrt{t}$ arribem a les següents solucions reals (les solucions complexes no les tenim en compte, atès que $x$ representa els valors de la part real de $\sqrt{1+i}$

$x_1=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}$

i

$x_2=-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}$

Per cada valor de $x$ obtenim un valor de $y$, atesa la segona equació del sistema plantejat

$y=\dfrac{1}{2x}$

d'on traiem que

$y_1=\dfrac{1}{2} \, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} $

i

$y_2=-\dfrac{1}{2}\,\sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} $

i, per tant, les solucions de $\sqrt{1+i}$ són els nombres complexos

$z_1=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}+\dfrac{1}{2}\, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} \,i$

i

$z_2=-\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}-\dfrac{1}{2}\, \sqrt{ \dfrac{2}{1+\sqrt{2}}} \,i$

$\square$

5. Considereu el nombre complex $z=-1-2\,i$. Calculeu el valor del seu mòdul $r_z$ i el valor del seu angle polar $\theta_z$

$r_z=\left|\sqrt{z \cdot \overline{z}}\right|$

Com que $\overline{z}=-1+2\,i$

$z \cdot \overline{z} = \ldots = 5$

per tant

$r_{z} = \left| \sqrt{5}\right|$

Calculem, per acabar, el valor de l'angle polar (o fase del nombre complex):

l'afix de $z$ és (-1,-2) i, doncs, es situa en el tercer quadrant; per tant

$180º < \theta_z < 270º$

Com que, en fer ús de la funció recíproca de la tangent

$\theta_z=\arctan{\dfrac{Im(z)}{Re(z)}}$

i, per a tot angle $\alpha$ del primer quadrant sabem (de la trigonometria elemental) que

$\tan{\alpha} = \tan{\alpha}+180º$

trobem que, com que la calculadora ens dóna l'angle del primer quadrant ( $63º \, 26'$ aproximant)

concloem que

$\theta_{z}=63º \, 26'+180º$

que és igual a

$243º \, 26'$

$\square$

6. Calculeu el nombre complex que resulta de desenvolupar la potència     $(5-2\,i)^3$

Per la fòrmula del binomi de Newton $(a+b)^n$ ( on $ \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ ) és igual a

$\binom{n}{0}a^{n-0}\,b^{0}+\binom{n}{1}a^{n-1}\,b^{1}+\binom{n}{2}a^{n-2}\,b^{2}+\ldots+\binom{n}{n-1}a^{n-(n-1)}\,b^{n-1}+\binom{n}{n}a^{0}\,b^{n}$

on els coficients de cada terme són els nombres combinatoris

$\binom{n}{m} = \dfrac{n!}{(n-m)!\,m!}$   on   $m$, que també és un nombre natural (o bé el nombre zero) és tal que

$m \le n$

aquests nombres combinatoris

$\{1,3,3,1\}$

es poden escriure, sense calcular, llegint - d'esquerra a dreta - els nombres de la fila corresponent del triangle de Pascal - la quarta fila, ja que $n=3$ - i escriure'ls al desevolupament de forma ordenada (d'esquerra a dreta):

En el desenvolupament apareixen, doncs, quatre termes que, tenint en compte que $a=5$ i $b=-2$, podrem escriure

$(5-2\,i)^3= 1 \cdot 5^{3} \cdot (-2)^{0}+ 3 \cdot 5^{2} \cdot (-2)^{1} + 3 \cdot 5^{1} \cdot (-2)^{2} + 1 \cdot 5^{0} \cdot (-2)^{3}$

i, operant i simplificant, queda igual a

$65-142\,i$

$\square$

7. Donats els nombres complexos $z_1=4+3\,i$ i $z_2=1-2\,i$, calculeu:
        a)   $z_1 \cdot z_2$

        b)   $\dfrac{z_1}{z_2}$

apartat a:

$z_1 \cdot z_2 = (4+3\,i)\cdot (1-2\,i)$

que és igual a

$4 + 3\,i - 8\,i -6\,i^2$

i, simplificat, queda

$10-5\,i$

$\square$

apartat b:

$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{4+3\,i}{1-2\,i}$

multiplicant i dividint pel conjugat de $1-2\,i$ queda

$\dfrac{4+3\,i}{1-2\,i} \cdot \dfrac{1+2\,i}{1+2\,i} $

multiplicant numerador per numerador i denominador per denominador obtenim

$\dfrac{4+3\,i+8\,i+6\,i^2}{1-4\,i^2}$

i, simplificant trobem

$\dfrac{z_1}{z_2} = \ldots = -\dfrac{2}{5}+\dfrac{11}{5}\,i$

$\square$

8. Trobeu els valors reals de $x$ que satisfan la igualtat     $\ln{(x^2-1)}+\ln{(x^2+1)}=\ln{(15)}$

Com que la suma de logaritmes és igual al logaritme del producte dels arguments, podem escriure (primer membre)

$\ln{(x^2-1)\,(x^2+1)}=\ln{(15)}$

I, com que les bases logarítmiques són iguals en tots dos membres

$(x^2-1)\,(x^2+1)=15$

simplifiant

$x^4-16=0$

i, per tant, trobem dos nombres reals com a solució d'aquesta equació, que també satisfan l'equació original

$x=\pm 2$
$\square$

[nota del autor]

Formas polar y cartesiana de un número complejo ( con MAXIMA ) ...

Considerem el nombre complex $z=a+i\,b$

Fent ús de MAXIMA podem, fàcilment, obtenir la seva forma polar. Primer de tot,
l'entrem:
        (%i1) z:a+%i*b;
i, a continuació, demanem l'expressió de la seva forma polar:
        (%i2) polarform(z);
i MAXIMA respon
        (%o2) $\sqrt{b^2+a^2}\,e^{i\,{\rm atan2}\left(b , a\right)}$

I, viceversa, donat un nombre complex en forma polar, obtenim fàcilment la seva
expressió cartesiana
l'entrem:
        (%i3) w:r*%e^(%i*%alpha);
i, a continuació, demanem l'expressió de la seva forma cartesiana:
        (%i4) rectform(w);
i MAXIMA respon
        (%o4) $i\,\sin {\it \alpha}\,r+\cos {\it \alpha}\,r$

[nota del autor]