En una partida de cinc-centes llanternes, la durada d'aquestes segueix un model normal; amb una mitjana de vuitanta hores i una desviació estàndard de dues hores. Quantes cal esperar que durin entre setanta-cinc hores i vuitanta-dues hores ?
Resolució:
És obvi que la variable aleatòria temps de vida útil d'una llanterna $X$ segueix una distribució normal. I, donats els paràmetres: $\mu=80 \, \text{h}$ i $\sigma=2 \, \text{h}$, és clar que $X \sim N(80 \, , \, 2)$
Llavors, ens proposem calcular
$P(75 \le X \le 82)$
que és igual a
$P(X \le 82)-P(X \le 75)$
Fent l'estandarització
$Z=\dfrac{X-80}{2}$
passem a treballar, de forma equivalent, amb una distribució $N(0,1)$
Per això, calculem els valors de les fites corresponents a $Z$:
Si $x=82$, $z=\dfrac{82-80}{2}=\ldots=1$
Si $x=75$, $z=\dfrac{75-80}{2}=\ldots=-2,5$
Finalment,
$P(75 \le X \le 82)=P(-2,5 \le Z \le 1)$
$=F(1)-\big(1-F(2,5)\big)$ (per les propietats de simetria de la funció de densitat del model normal )
és a dir
$=F(1)+F(2,5)-1$
I, consultant les taules, trobem
$F(1)=0,8413$
$F(2,5)=0,9798$
amb la qual cosa arribem al següent resultat per a la probabilitat
$P(75 \le X \le 82) = \ldots = 0,8211$ ( amb 4 xifres significatives )
I, finalment, a partir de la interpretació estadística de la probabilitat, determinem el nombre de llanternes $n$ que s'espera que la seva vida útil estigui fitada entre els valors donatses
$n = 500 \cdot 0,8211 \approx 410 \; \text{llanternes}$
$\square$
