Enunciat:
Considereu el pla euclidià \mathbb{R}^2. Calculeu l'angle format pels vectors
\vec{u}=(1,2)
i
\vec{v}=(-1,6)
Resolució:
D'acord amb les definicions equivalents de producte escalar euclidià:
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)
\vec{u}\cdot\vec{v}=\left \| \vec{u} \right\|\,\left \| \vec{v} \right\|\,\cos\big(\measuredangle(\vec{u},\vec{v})\big) \quad \quad \quad (2)
obtenim
\measuredangle (\vec{u},\vec{v})=\arccos\Bigg(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left \| \vec{u} \right\| \,\left \| \vec{v} \right\| }\Bigg) \quad \quad \quad (3)
on el valor del producte escalar dels dos vectors és igual a
\vec{u}\cdot\vec{v}=1(-1)+2(6)
=11
I els mòduls dels vectors valen
\left\| \vec{u} \right\|=\sqrt{1^2+2^2}
=\sqrt{5}
i
\left\| \vec{v} \right\|=\sqrt{(-1)^2+6^2}
=\sqrt{37}
Substituint aquestes dades en l'expressió (3) trobem
\measuredangle (\vec{u},\vec{v}) \approx 36º 1' 39''
\square
