Enunciat:
Considereu el pla euclidià $\mathbb{R}^2$. Calculeu l'angle format pels vectors
$\vec{u}=(1,2)$
i
$\vec{v}=(-1,6)$
Resolució:
D'acord amb les definicions equivalents de producte escalar euclidià:
$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\left \| \vec{u} \right\|\,\left \| \vec{v} \right\|\,\cos\big(\measuredangle(\vec{u},\vec{v})\big) \quad \quad \quad (2)$
obtenim
$\measuredangle (\vec{u},\vec{v})=\arccos\Bigg(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left \| \vec{u} \right\| \,\left \| \vec{v} \right\| }\Bigg) \quad \quad \quad (3)$
on el valor del producte escalar dels dos vectors és igual a
$\vec{u}\cdot\vec{v}=1(-1)+2(6)$
$=11$
I els mòduls dels vectors valen
$\left\| \vec{u} \right\|=\sqrt{1^2+2^2} $
$=\sqrt{5}$
i
$\left\| \vec{v} \right\|=\sqrt{(-1)^2+6^2}$
$=\sqrt{37}$
Substituint aquestes dades en l'expressió (3) trobem
$\measuredangle (\vec{u},\vec{v}) \approx 36º 1' 39''$
$\square$
