1. Calculeu l'arrel quadrada de
-\dfrac{9}{16}
\sqrt{\big(-\dfrac{9}{16}\big)}=\sqrt{\big(\dfrac{9}{16} \cdot (-1) \big)}=\sqrt{\big(\dfrac{9}{16}\big)} \cdot \sqrt{-1} = \pm \dfrac{3}{4} \cdot i
\square
2. Donat el nombre z=-3+\dfrac{5}{9}\,i, indiqueu el valor de la seves parts, real i imaginària.
Re(z)=-3
Im(z)=\dfrac{5}{9}
\square
3. Calculeu el valor de m per tal que
z=2m-3+\big(\dfrac{2}{5}+m \big) \, i
sigui un nombre real.
Perquè sigui un nombre real, la seva part imaginària ha de ser igual a 0
Com que
Im(z)=\dfrac{2}{5}+m
imposant al condició, s'obté
\dfrac{2}{5}+m=0
I d'aquí
m=-\dfrac{2}{5}
\square
4. Calculeu els valors de x i y per tal que
es compleixi la igualtat 7x+(2-y)\, i = (2x-5)-4y\,i
Igualant les parts reals de tots dos membres
7x=2x-5
i resolent aquesta equació, trobem
x=-1
Igualant les parts imaginàries de tots dos membres
2-y=-4y
per tant
y=-\dfrac{2}{3}
\square
5. Escriviu l'oposat del nombre complex
\sqrt{5}-3\, i
Per trobar l'oposat d'un nombre complex z=a+i\,b, canviem el signe de la
part real i també el de la part imaginària.
Llavors,
(\text{Op}\big(\sqrt{5}-3\, i \big) = -\sqrt{5}+3\, i
\square
6. Escriviu el conjugat del nombre complex
\sqrt{5}-3\, i
Per trobar el nombre complex conjugat \overline{z} d'un nombre z=a+i\,b, canviem el signe de la de la part imaginària: \overline{z}=a-i\,b.
Així, doncs, en el cas concret de l'enunciat fem
\overline{z} = \sqrt{5}+3\, i
\square
7. Considereu els nombres complexos:
z_1=-2+i
z_1=-3-5i
Calculeu:
a) z_1+z_2
b) z_1-z_2
c) el mòdul r_{z_1} de z_1
d) el mòdul r_{z_2} de z_2
e) el mòdul r_{z_1+z_2} de z_1+z_2
f) el mòdul r_{z_1-z_2} de z_1-z_2
g) l'angle polar \theta_{z_1} de z_1
h) l'angle polar \theta_{z_2} de z_2
i) l'angle polar \theta_{z_1+z_2} de z_1+z_2
j) l'angle polar \theta_{z_1-z_2} de z_1-z_2
k) el nombre complex que resulta del producte z_{1} \cdot z_{2}
l) el nombre complex que resulta del quocient
\dfrac{z_{1}}{z_{2}}
m) \big(z_1\big)^5
n) \sqrt{z_1}
a) z_1+z_2=-5-4\,i
b) z_1-z_2=1+6\,i
c) r_{z_1}=\left|\sqrt{\overline{z_{1}}\cdot z_{1}}\right|=\ldots=|\sqrt{5}|
d) r_{z_2}=\left|\sqrt{\overline{z_{2}}\cdot z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{34}|
e) r_{z_1+z_2}=\left|\sqrt{\overline{(z_{1}+z_{2})}\cdot (z_{1}+z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{41}|
f) r_{z_1-z_2}=\left|\sqrt{\overline{(z_{1}-z_{2})}\cdot (z_{1}-z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{37}|
g) Com que
Re(z_1)=-2
Im(z_1)=1
l'afix de z_1 es troba al 2n quadrant, per tant \theta_{z_1} = 180º - \arctan{\Big(\dfrac{1}{-2}\Big)} \approx 153º\,23'\,6''
h)
Re(z_1)=-3
Im(z_1)=-5
llavors, trobem l'afix de z_2 al 3r quadrant, per tant \theta_{z_2} = 180º + \arctan{\Big(\dfrac{-5}{-3}\Big)} \approx 239º\,2'\,11''
i)
Re(z_1+z_2)=-5
Im(z_1+z_2)=-4
llavors, l'afix de z_1+z_2 es situa també en el 3r quadrant, per tant \theta_{z_1+z_2} = 180º + \arctan{\Big(\dfrac{-4}{-5}\Big)} \approx 218º\,39'\,35''
j)
Re(z_1-z_2)=1
Im(z_1-z_2)=6
llavors, l'afix de z_1-z_2 es troba en el 1r quadrant, per tant \theta_{z_1-z_2} = \arctan{6} \approx 80º\,32'\,16''
k) z_{1} \cdot z_{2} = (-2+i)\cdot (-3-5\,i) =\ldots = 11+7\,i
l)
\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{-2+i}{-3-5\,i} = \dfrac{-2+i}{-3-5\,i} \cdot \dfrac{-3+5\,i}{-3+5\,i} = \ldots = \dfrac{1}{34}-\dfrac{13}{34}\,i
m)
\big(z_1\big)^5=(-2+i)^5
desenvolupant per la fórmula del binomi de Newton, trobem:
(-2+i)^5=\ldots=38+41\,i
n)
Per calcular l'arrel quadrada de z_1
\sqrt{(-2+i)} partim del fet que hi han dues solucions (teorema) i que han de ser
nombres complexos x+i\,y
Elevem al quadrat tots dos membres de la igualtat
\sqrt{(-2+i)}=x+i\,y
i obtenim el sistema d'equacions
\left.\begin{matrix} x^2-y^2 = -2\\ \\ 2xy = 1\\ \end{matrix}\right\}
Resolent el sistema d'equacions trobem el següent parell de valors com a resultat de
l'arrel quadrada de z_1=-2+i
r_1=\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|-2}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|+2}{2}}\right|\,i
i
r_2=-\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|-2}{2}}\right|-\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|+2}{2}}\right|\,i
\square
8. Donat el nombre z=1+i, calculeu el seu invers.
\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1+i} \cdot \dfrac{1-i}{1-i} = \ldots = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \,i
\square
9. Resoleu l'equació x^2+x+2=0
Fent ús de la fórmula per trobar les arrels d'una equació polinòmica de 2n grau, trobem
x=\dfrac{-1 \pm \left|\sqrt{1-8}\right|}{2} \in \mathbb{C}
d'on surten dues arrels complexes:
r_1=\dfrac{-1+\sqrt{7}\,i}{2}
i
r_2=\dfrac{-1-\sqrt{7}\,i}{2}
\square
10. Resoleu l'equació x^4+x^2+1=0
Fent el canvi x^2=t, l'equació biquadrada es transforma en una equació polinòmica de 2n grau
t^2+t+1=0
que té com a solucions (complexes):
t_1=\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}
i
t_2=\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}
Ara, però, cal desfer el canvi de variable: x=\sqrt{t}
De t_1 trobem dos valor per a la variable x: x_1 i x_2; i de t_2, dos més: x_3 i x_4
Calculem les dues primers a partir de l'arrel quadrada:
\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}
i que és igual a dos nombres complexos del tipus u+v \,i; per això, cal plantejar el sistema d'equacions corresponent
que surt d'elevar al quadrat ambdós membres de la igualtat
\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}=u+v\,i
és a dir
\left.\begin{matrix} u^2-v^2 = -\dfrac{1}{2}\\ \\ 2uv = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right\}
I, les altre dues, s'obtenen a partir de l'arrel quadrada de
\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}
el resultats de la qual són els nombres complexos del tipus s+t\,i
per tant
\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}=s+t\,i
elevant al quadrat cada un dels dos membres i igualant parts reals i parts imaginàries plantegem el sistema d'equacions corresponent
\left.\begin{matrix} s^2-t^2 = -\dfrac{1}{2}\\ \\ 2st = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right\}
En resoldre tots dos sistemes d'equacions, obtenint dos valors de u i dos de v, i el mateix per a s i t
i, a partir d'aquests, podem escriure les quatre solucions de l'equació de quart grau x^4+x^2+1=0
x_1=\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}
x_2=-\sqrt{ \dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}
x_3=\sqrt{ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}
x_3=-\sqrt{ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}
\square
11. Resoleu l'equació
2^{x^4+x^2}=1
Com que 1 es pot posar com una potència de base 2: 1=2^0, podem
escriure l'equació de la forma
2^{x^4+x^2}=2^0
els exponents d'ambdós membres han de ser iguals, atesa la igualtat de les bases de les potències
x^4+x^2=0
Traient x^2 com a factor comú, la podem escriure de la forma
x^2\, (x^2+1)=0
de la qual deduïm que:
a) si s'anul·la el primer factor
obtenim 0 com primera arrel (amb multiplicitat igual a 2) i, doncs, tenim dues de les quatre solucions x_1=0 i x_2=0
b) si s'anul·la el segon factor, surten dues arrels més
x_3=i
i
x_4=-i
\square
12. Calculeu i^{29018745}
i^{29018745} = i^{\text{mod}(29018745,4)}=i^1 = i
\square
