1. Calculeu l'arrel quadrada de
$-\dfrac{9}{16}$
$\sqrt{\big(-\dfrac{9}{16}\big)}=\sqrt{\big(\dfrac{9}{16} \cdot (-1) \big)}=\sqrt{\big(\dfrac{9}{16}\big)} \cdot \sqrt{-1} = \pm \dfrac{3}{4} \cdot i$
$\square$
2. Donat el nombre $z=-3+\dfrac{5}{9}\,i$, indiqueu el valor de la seves parts, real i imaginària.
$Re(z)=-3$
$Im(z)=\dfrac{5}{9}$
$\square$
3. Calculeu el valor de $m$ per tal que
$z=2m-3+\big(\dfrac{2}{5}+m \big) \, i$
sigui un nombre real.
Perquè sigui un nombre real, la seva part imaginària ha de ser igual a $0$
Com que
$Im(z)=\dfrac{2}{5}+m$
imposant al condició, s'obté
$\dfrac{2}{5}+m=0$
I d'aquí
$m=-\dfrac{2}{5}$
$\square$
4. Calculeu els valors de $x$ i $y$ per tal que
es compleixi la igualtat $7x+(2-y)\, i = (2x-5)-4y\,i$
Igualant les parts reals de tots dos membres
$7x=2x-5$
i resolent aquesta equació, trobem
$x=-1$
Igualant les parts imaginàries de tots dos membres
$2-y=-4y$
per tant
$y=-\dfrac{2}{3}$
$\square$
5. Escriviu l'oposat del nombre complex
$\sqrt{5}-3\, i$
Per trobar l'oposat d'un nombre complex $z=a+i\,b$, canviem el signe de la
part real i també el de la part imaginària.
Llavors,
$(\text{Op}\big(\sqrt{5}-3\, i \big) = -\sqrt{5}+3\, i$
$\square$
6. Escriviu el conjugat del nombre complex
$\sqrt{5}-3\, i$
Per trobar el nombre complex conjugat $\overline{z}$ d'un nombre $z=a+i\,b$, canviem el signe de la de la part imaginària: $\overline{z}=a-i\,b$.
Així, doncs, en el cas concret de l'enunciat fem
$\overline{z} = \sqrt{5}+3\, i$
$\square$
7. Considereu els nombres complexos:
$z_1=-2+i$
$z_1=-3-5i$
Calculeu:
a) $z_1+z_2$
b) $z_1-z_2$
c) el mòdul $r_{z_1}$ de $z_1$
d) el mòdul $r_{z_2}$ de $z_2$
e) el mòdul $r_{z_1+z_2}$ de $z_1+z_2$
f) el mòdul $r_{z_1-z_2}$ de $z_1-z_2$
g) l'angle polar $\theta_{z_1}$ de $z_1$
h) l'angle polar $\theta_{z_2}$ de $z_2$
i) l'angle polar $\theta_{z_1+z_2}$ de $z_1+z_2$
j) l'angle polar $\theta_{z_1-z_2}$ de $z_1-z_2$
k) el nombre complex que resulta del producte $z_{1} \cdot z_{2}$
l) el nombre complex que resulta del quocient
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$
m) $\big(z_1\big)^5$
n) $\sqrt{z_1}$
a) $z_1+z_2=-5-4\,i$
b) $z_1-z_2=1+6\,i$
c) $r_{z_1}=\left|\sqrt{\overline{z_{1}}\cdot z_{1}}\right|=\ldots=|\sqrt{5}|$
d) $r_{z_2}=\left|\sqrt{\overline{z_{2}}\cdot z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{34}|$
e) $r_{z_1+z_2}=\left|\sqrt{\overline{(z_{1}+z_{2})}\cdot (z_{1}+z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{41}|$
f) $r_{z_1-z_2}=\left|\sqrt{\overline{(z_{1}-z_{2})}\cdot (z_{1}-z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{37}|$
g) Com que
$Re(z_1)=-2$
$Im(z_1)=1$
l'afix de $z_1$ es troba al 2n quadrant, per tant $\theta_{z_1} = 180º - \arctan{\Big(\dfrac{1}{-2}\Big)} \approx 153º\,23'\,6''$
h)
$Re(z_1)=-3$
$Im(z_1)=-5$
llavors, trobem l'afix de $z_2$ al 3r quadrant, per tant $\theta_{z_2} = 180º + \arctan{\Big(\dfrac{-5}{-3}\Big)} \approx 239º\,2'\,11''$
i)
$Re(z_1+z_2)=-5$
$Im(z_1+z_2)=-4$
llavors, l'afix de $z_1+z_2$ es situa també en el 3r quadrant, per tant $\theta_{z_1+z_2} = 180º + \arctan{\Big(\dfrac{-4}{-5}\Big)} \approx 218º\,39'\,35''$
j)
$Re(z_1-z_2)=1$
$Im(z_1-z_2)=6$
llavors, l'afix de $z_1-z_2$ es troba en el 1r quadrant, per tant $\theta_{z_1-z_2} = \arctan{6} \approx 80º\,32'\,16''$
k) $z_{1} \cdot z_{2} = (-2+i)\cdot (-3-5\,i) =\ldots = 11+7\,i$
l)
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{-2+i}{-3-5\,i} = \dfrac{-2+i}{-3-5\,i} \cdot \dfrac{-3+5\,i}{-3+5\,i} = \ldots = \dfrac{1}{34}-\dfrac{13}{34}\,i$
m)
$\big(z_1\big)^5=(-2+i)^5$
desenvolupant per la fórmula del binomi de Newton, trobem:
$(-2+i)^5=\ldots=38+41\,i$
n)
Per calcular l'arrel quadrada de $z_1$
$\sqrt{(-2+i)}$ partim del fet que hi han dues solucions (teorema) i que han de ser
nombres complexos $x+i\,y$
Elevem al quadrat tots dos membres de la igualtat
$\sqrt{(-2+i)}=x+i\,y$
i obtenim el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x^2-y^2 = -2\\ \\ 2xy = 1\\ \end{matrix}\right\}$
Resolent el sistema d'equacions trobem el següent parell de valors com a resultat de
l'arrel quadrada de $z_1=-2+i$
$r_1=\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|-2}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|+2}{2}}\right|\,i$
i
$r_2=-\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|-2}{2}}\right|-\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|+2}{2}}\right|\,i$
$\square$
8. Donat el nombre $z=1+i$, calculeu el seu invers.
$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1+i} \cdot \dfrac{1-i}{1-i} = \ldots = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \,i$
$\square$
9. Resoleu l'equació $x^2+x+2=0$
Fent ús de la fórmula per trobar les arrels d'una equació polinòmica de 2n grau, trobem
$x=\dfrac{-1 \pm \left|\sqrt{1-8}\right|}{2} \in \mathbb{C}$
d'on surten dues arrels complexes:
$r_1=\dfrac{-1+\sqrt{7}\,i}{2}$
i
$r_2=\dfrac{-1-\sqrt{7}\,i}{2}$
$\square$
10. Resoleu l'equació $x^4+x^2+1=0$
Fent el canvi $x^2=t$, l'equació biquadrada es transforma en una equació polinòmica de 2n grau
$t^2+t+1=0$
que té com a solucions (complexes):
$t_1=\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}$
i
$t_2=\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$
Ara, però, cal desfer el canvi de variable: $x=\sqrt{t}$
De $t_1$ trobem dos valor per a la variable $x$: $x_1$ i $x_2$; i de $t_2$, dos més: $x_3$ i $x_4$
Calculem les dues primers a partir de l'arrel quadrada:
$\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$
i que és igual a dos nombres complexos del tipus $u+v \,i$; per això, cal plantejar el sistema d'equacions corresponent
que surt d'elevar al quadrat ambdós membres de la igualtat
$\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}=u+v\,i$
és a dir
$\left.\begin{matrix} u^2-v^2 = -\dfrac{1}{2}\\ \\ 2uv = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right\}$
I, les altre dues, s'obtenen a partir de l'arrel quadrada de
$\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$
el resultats de la qual són els nombres complexos del tipus $s+t\,i$
per tant
$\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}=s+t\,i$
elevant al quadrat cada un dels dos membres i igualant parts reals i parts imaginàries plantegem el sistema d'equacions corresponent
$\left.\begin{matrix} s^2-t^2 = -\dfrac{1}{2}\\ \\ 2st = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right\}$
En resoldre tots dos sistemes d'equacions, obtenint dos valors de $u$ i dos de $v$, i el mateix per a $s$ i $t$
i, a partir d'aquests, podem escriure les quatre solucions de l'equació de quart grau $x^4+x^2+1=0$
$x_1=\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$
$x_2=-\sqrt{ \dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$
$x_3=\sqrt{ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$
$x_3=-\sqrt{ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$
$\square$
11. Resoleu l'equació
$2^{x^4+x^2}=1$
Com que $1$ es pot posar com una potència de base $2$: $1=2^0$, podem
escriure l'equació de la forma
$2^{x^4+x^2}=2^0$
els exponents d'ambdós membres han de ser iguals, atesa la igualtat de les bases de les potències
$x^4+x^2=0$
Traient $x^2$ com a factor comú, la podem escriure de la forma
$x^2\, (x^2+1)=0$
de la qual deduïm que:
a) si s'anul·la el primer factor
obtenim $0$ com primera arrel (amb multiplicitat igual a $2$) i, doncs, tenim dues de les quatre solucions $x_1=0$ i $x_2=0$
b) si s'anul·la el segon factor, surten dues arrels més
$x_3=i$
i
$x_4=-i$
$\square$
12. Calculeu $i^{29018745}$
$i^{29018745} = i^{\text{mod}(29018745,4)}=i^1 = i$
$\square$
