Sea $X$ una variable aleatoria normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si $X$ és una variable aleatòria $N(5,2)$, calculeu:
    a) $P(X \le 2,1)$
    b) $P(\left|X\right| \le 3,4)$

Observació:
Tenint en compte que $X$ és una v.a. contínua, és irrellevant el fet de posar desigualtats estrictes o febles, atès que - recordem-ho - la probabilitat d'un valor puntual $X=k$ és nul·la
$P(X=k)=0$

Resolució:
a)   Fent el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
podem passar a treballar amb una distribució normal estàndard i, per tant, podrem fer ús de les taules de la funció de distribució de probabilitat $N(0,1)$
Llavors
si $x=2,1$
$z=\dfrac{2,1-5}{2}$
    $=-1,45$
és a dir
$P(X \le 2,1) = P(Z \le -1,45)$
i, tenint en compte la simetria de la funció de densitat $f(z)$, podem escriure que
$P(Z \le -1,45)= 1-P(Z \le 1,45)$
Com que $P(Z \le 1,45)=F(0,45)$ tenim que, de les taules $N(0,1)$, trobem
$F(0,45)=0,9265$
Finalment
$P(X \le 2,1)=1-0,9265$
    $=0,0735$
$\square$

b)   Treballarem (com en l'apartat anterior) amb la v.a. normal estàndard $Z$ i, per això, fem el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
Com que
si $x=3,4$
$z=\dfrac{3,4-5}{2}$
    $=-0,8$
$P(\left|X\right|<3,4)=P(\left|Z\right| \le -0,8)$

que és igual a
$P(-0,8 \le Z \le 0,8)$
i, per tant, a
$P(Z\le 0,8)-P(Z \le -0,8)$
i, per la simetria de $f(z)$, i amb la finalitat de fer ús de les taules, podem escriure-ho de la forma
$P(Z \le 0,8)-\big(1-P(Z \le 0,8)\big)$

tenint en compte que
$P(Z \le 0,8)$ ve donat per $F(0,8)$
consultant les taules, trobem
$P(\left|X\right|<3,4)=F(0,8)-\big(1-F(0,8)\big)$

    $=1-2\cdot \big(1-0,7881\big)$
    $=0,5762$
$\square$

[nota del autor]

Sea una variable aleatoria normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si $X$ és una v.a. $N(3,1)$, calculeu $P(\left|X-6\right|\ge1,5)$

Resolució:
$\left|X-6\right|\ge 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} X-6 \ge 1,5 \; \text{si} \; X \ge 6 \\ \vee \\6-X \ge 1,5 \; \text{si} \; X < 6 \\ \end{matrix}\right.$

és a dir

$\left|X-6\right|\ge 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} X\ge 7,5 \; \text{si} \; X \ge 6 \\ \vee \\X < 4,5 \; \text{si} \; X < 6 \\ \end{matrix}\right.$

Per tant

$P(\left|X-6\right|\ge1,5)=P(X \le 4,5)+P(X \ge 7,5$
      $=P(X \le 4,5)+\big(1-P(X \le 7,5)\big) \quad \quad (1)$

i fent el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
on $\mu=3$ i $\sigma=1$
passarem a treballar (de forma equivalent) amb la variable aleatòria $Z$ normal estàndard i, doncs, podrem fer ús dels valors tabulats de la seva funció de distribució $F(z)$

A partir d'aquí, trobem que el resultat del càlcul (1) és igual a
$P\bigg(Z \le \dfrac{4,5-3}{1}\bigg)+\Big(1-P\bigg(Z \le \dfrac{7,5-3}{1}\bigg)\Big)$
que, en termes de la funció de distribució de probabilitat $F(z)$ [per a la consulta de les taules de la funció de distribució de $Z \sim N(0,1)$] es pot expressar de la forma
$F(1,5)+1-F(4,5)$

Com que $P(Z \le 4,5)$ [ és a dir, el valor de la funció de distribució per a $Z$ igual a $4,5$ ] és, pràcticament, igual a $1$ (vegeu les talues):
$F(4,5) = 1$
i, atès que, $F(1,5) \approx 0,9332$ (taules)
trobem que
$P(\left|X-6\right|\ge1,5)\approx 0,9332$

$\square$

[nota del autor]

En una partida de quinientas linternas, la duración de las mismas sigue un modelo normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una partida de cinc-centes llanternes, la durada d'aquestes segueix un model normal; amb una mitjana de vuitanta hores i una desviació estàndard de dues hores. Quantes cal esperar que durin entre setanta-cinc hores i vuitanta-dues hores ?

Resolució:
És obvi que la variable aleatòria temps de vida útil d'una llanterna $X$ segueix una distribució normal. I, donats els paràmetres: $\mu=80 \, \text{h}$ i $\sigma=2 \, \text{h}$, és clar que $X \sim N(80 \, , \, 2)$

Llavors, ens proposem calcular
$P(75 \le X \le 82)$
que és igual a
$P(X \le 82)-P(X \le 75)$

Fent l'estandarització
$Z=\dfrac{X-80}{2}$
passem a treballar, de forma equivalent, amb una distribució $N(0,1)$

Per això, calculem els valors de les fites corresponents a $Z$:
Si $x=82$, $z=\dfrac{82-80}{2}=\ldots=1$
Si $x=75$, $z=\dfrac{75-80}{2}=\ldots=-2,5$

Finalment,
$P(75 \le X \le 82)=P(-2,5 \le Z \le 1)$
    $=F(1)-\big(1-F(2,5)\big)$     (per les propietats de simetria de la funció de densitat del model normal )
és a dir
    $=F(1)+F(2,5)-1$

I, consultant les taules, trobem
$F(1)=0,8413$
$F(2,5)=0,9798$

amb la qual cosa arribem al següent resultat per a la probabilitat
$P(75 \le X \le 82) = \ldots = 0,8211$     ( amb 4 xifres significatives )

I, finalment, a partir de la interpretació estadística de la probabilitat, determinem el nombre de llanternes $n$ que s'espera que la seva vida útil estigui fitada entre els valors donatses

$n = 500 \cdot 0,8211 \approx 410 \; \text{llanternes}$

$\square$

[nota del autor]