Enunciat:
Una botiga disposa de dos sistemes d'alarma, A i B, independents. La fiabilitat del sistema A és del 85% i la del sistema B del 92%. Calculeu la probabilitat que, en cas de perill:
a) funcioni almenys una de les alarmes
b) funcionin totes dues alarmes
c) funcioni només una de les dues alarmes
d) no funcioni cap alarma
Resolució:
Designem amb $A$ el succés "el sistema d'alarma A funcioni"; amb $\bar{A}$, "el sistema A no funcioni"; $B$ el succés "el sistema d'alarma B funcioni"; i amb $\bar{B}$, "el sistema B no funcioni".
I, d'acord amb l'enunciat:
$P(A)=0,85$
$P(\bar{A})=1-P(A)$
$=0,15$
$P(B)=0,92$
$P(\bar{B})=1-P(B)$
$=0,08$
a)
P("funcioni almenys una de les alarmes")=1-P("no funcioni cap alarma")
P("no funcioni cap alarma") $=P(\bar{A})\cap P(\bar{B})$
i, donat que els successos són independents (sistemes d'alarma independents), sabem que
$P(\bar{A})\cap P(\bar{B})=P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})$
Per tant
P("funcioni almenys una alarma") $=1-0,15 \cdot 0,08$
que és igual a $0,988$
$\square$
b)
P("funcionin totes dues alarmes") $=P(A)\cap P(B)$
i, donat que els successos són independents
$P(A)\cap P(B)=P(A)\cdot P(B)$
Per tant
P("funcionin totes dues alarmes") $=0,85 \cdot 0,92$
que és igual a $0,782$
$\square$
c)
P("funcioni només una de les alarmes") $=P\big (A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) \big)$
tenint en compte que els successos $A \cap \bar{B}$ i $\bar{A} \cap B$ són incompatibles, podem escriure
$P\big((A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B) \big) = P(A \cap \bar{B})+ P(\bar{A} \cap B)$
i doant que els dos sistemes d'alarma són independents,
$P(A)\cap P(\bar{B})=P(A)\cdot P(\bar{B})$
$P(\bar{A})\cap P(B)=P(\bar{A})\cdot P(B)$
trobem que
P("funcioni només una de les alarmes") $=0,15 \cdot 0,92 + 0,85 \cdot 0,08$
que és igual a $0,206$
$\square$
d)
P("no funcioni cap alarma") $=P(\bar{A}) \cap \bar{B})$ [vegeu també l'apartat (a) ]
Recordem que els sistemes d'alarma són independents, per tant
$P(\bar{A} \cap \bar{B})=P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$
$=0,15 \cdot 0,08$
$=0,012$
$\square$
