Enunciat:
Avui, 20/11/2012 és dimarts. Us demanem: a) Quin dia de la setmana serà el 30/11/2012 ? ( No mireu el calendari ), b) Es pot resoldre aquest problema fent una divisió euclidiana (divisió de nombres enters, amb residu enter) ?
Solució:
a) De ben segur que la primera pregunta us semblarà molt fàcil de contestar. I sí que l'és de fàcil, certament: si la setmana té $7$ dies i avui, dia $20$, és dimarts, és ben clar que el dia $20+7=27$ serà el dimarts de la setmana vinent i, per tant, el dia $30$ ( $30=27+3$ ) correspondrà a un divendres, atès que és divendres al tercer dia després del dimarts. Aquesta és la resposta: el dia 30 de novembre serà divendres.
b) Bé, però - i ara vé l'interessant - quina relació té aquest problema amb la divisió entera (divisió euclidiana) ?. Vegem-ho. Adonem-nos que els dies de la setmana es van repetint de manera cíclica: cada $7$ dies torna a ser el mateix dia de la setmana. Llavors, podem resoldre el problema fent una simple divisió euclidiana: dividint el nombre de dies que passen, des del dia inicial fins al que volem determinar [ del dia 20/11 al dia 30/11/2012, que correspon a 30-20=10 dies ] entre $7$ ( que és la longitud del període del cicle, és a dir, el nombre de dies que té la setmana ).
Interpretarem el valor del quocient com el nombre de grups de set dies que passen; i, el valor del residu, com la posició que ocupa l'últim dia dins de l'últim grup que es dóna en la repetició. Per tant, el valor del residu dóna, directament, la solució: el dia de la setmana corresponent. Fem-ho (i comprovem que el que obtenim coincideix amb la solució que hem trobat pel mètode elemental):
En fer la divisió
$(30-20) \div 7$
trobarem, lògicament, que
$r \prec 7$
atès que (teorema de la divisió euclidiana )
$\text{quocient}\big(D \div d\big)=q \;\wedge\; \text{residu}\big(D \div d\big)=r \Leftrightarrow D=d\cdot q + r$
$\; \text{on}\; 0 \le r \prec \left|d\right| \, \text{i} \, \left|d\right| \le \left|D\right|$
$d$, el divisor, val $7$, en aquest cas
$D$, el dividend, val $30-20=10$, en aquest cas
Llavors, els valors que podem obtenir ( del residu ) són
$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ i $6$
I, adonem-nos que
si $r=0$, torna a ser un dimarts
si $r=1$, serà un dimecres
si $r=2$, serà un dijous
si $r=3$, serà un divendres
si $r=4$, serà un dissabte
si $r=5$, serà un diumenge
si $r=6$, serà un dilluns
si $r=7$, tornarà a ser un dimarts
etcètera
Mirem quant dóna el residu en el cas concret que correspon a les dades del problema:
$\text{residu}\big((30-20) \div 7\big)=3$
de la qual cosa deduïm que serà un divendres.
Observació:
Quan parlem de quantitats cícliques d'una determinada longitud - com ara 7, en el cas del problema dels dies de la setmana - podem parlar de classes de nombres equivalents, en relació a un determinat reste ( dites també classes de reste ). La longitud del cicle s'anomena mòdul, i tots els nombres que en dividir-los pel valor del mòdul tenen el mateix reste són, des d'aquest punt de vista, equivalents. Parlarem de classes de reste mòdul m. Tot això té molt d'interès en teoria de nombres i en àlgebra.
Així, per exemple, arribem a la solució d'aquest problema concret ("... el dia 30/11 serà divendres"), a partir del fet que
$\big(3 \equiv 10\big) \; \text{mod} \; 7$
que, de manera literal, podem expressar-ho així
"10 equival a 3 mòdul 7"
Comentari:
No cal dir que aquesta manera de resoldre el problema és, sens dubte, la manera més eficaç de resoldre'l si el nombre de dies que passen no és un nombre tan petit com $10$, ans un nombre molt més gran, com ara $214$.
$\square$
