Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica
$3\,x^2+2\,y^2-24=0$
Determineu tots els seus elements i calculeu el valor de l'excentricitat. Representeu-la gràficament.
Resolució:
Podem escriure l'expressió de la forma
$\dfrac{x^2}{\frac{1}{3}}+\dfrac{y^2}{\frac{1}{2}}=24$
I dividint ambdós membres per $24$ trobem l'expressió d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades
$\dfrac{x^2}{\frac{24}{3}}+\dfrac{y^2}{\frac{24}{2}}=1$
que es pot posar de la forma
$\dfrac{x^2}{\big(\sqrt{8}\big)^2}+\dfrac{y^2}{\big(\sqrt{12}\big)^2}=1 \quad \quad (1)$
D'acord amb l'expressió genèrica d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades
$\dfrac{x^2}{\square^2}+\dfrac{y^2}{\square^2}=1 \quad \quad (2)$
[ on els símbols quadrats dels denominadors indiquen els valors dels semieixos $a$ - lletra amb què, per conveni, es designa al semieix major - i $b$ - designació del semieix menor ]
i, a partir de la comparació de l'expressió concreta (1) amb aquesta expressió genèrica (2), podem veure que el semieix major $a$ es troba damunt de l'eix d'ordenades i el seu valor és igual a
$a=\left|\sqrt{12}\right|$
i, per altra banda, el valor del semieix menor $b$ és igual a
$b=\left|\sqrt{8}\right|$
i es situa, en aquest cas, damunt de l'eix d'abscisses.
Per tant, els focus de l'el·lipse es situen damunt de l'eix $Oy$
i, atès que aquesta el·lipse és centrada a l'origen de coordenades, les seves coordenades són $F(0,c)$ i $F^{'}(0,-c)$
Tenint en compte que
$a^2=12$ i $b^2=8$, calculem el valor del paràmetre $c$ (vegeu la figura)
$c=\left|\sqrt{a^2-b^2}\right|=2$
Calculem el valor de l'excentricitat:
$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{\left|\sqrt{12}\right|}\approx 0,5774$
Coordenades dels vèrtexs:
$(0,\left|\sqrt{12}\right|)$
$(0,-\left|\sqrt{12}\right|)$
$(\left|\sqrt{8}\right|,0)$
$(-\left|\sqrt{8}\right|,0)$
$\square$
