Enunciat:
Si $X$ és una v.a. $N(3,1)$, calculeu $P(\left|X-6\right|\ge1,5)$
Resolució:
$\left|X-6\right|\ge 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} X-6 \ge 1,5 \; \text{si} \; X \ge 6 \\ \vee \\6-X \ge 1,5 \; \text{si} \; X < 6 \\ \end{matrix}\right.$
és a dir
$\left|X-6\right|\ge 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} X\ge 7,5 \; \text{si} \; X \ge 6 \\ \vee \\X < 4,5 \; \text{si} \; X < 6 \\ \end{matrix}\right.$
Per tant
$P(\left|X-6\right|\ge1,5)=P(X \le 4,5)+P(X \ge 7,5$
$=P(X \le 4,5)+\big(1-P(X \le 7,5)\big) \quad \quad (1)$
i fent el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
on $\mu=3$ i $\sigma=1$
passarem a treballar (de forma equivalent) amb la variable aleatòria $Z$ normal estàndard i, doncs, podrem fer ús dels valors tabulats de la seva funció de distribució $F(z)$
A partir d'aquí, trobem que el resultat del càlcul (1) és igual a
$P\bigg(Z \le \dfrac{4,5-3}{1}\bigg)+\Big(1-P\bigg(Z \le \dfrac{7,5-3}{1}\bigg)\Big)$
que, en termes de la funció de distribució de probabilitat $F(z)$ [per a la consulta de les taules de la funció de distribució de $Z \sim N(0,1)$] es pot expressar de la forma
$F(1,5)+1-F(4,5)$
Com que $P(Z \le 4,5)$ [ és a dir, el valor de la funció de distribució per a $Z$ igual a $4,5$ ] és, pràcticament, igual a $1$ (vegeu les talues):
$F(4,5) = 1$
i, atès que, $F(1,5) \approx 0,9332$ (taules)
trobem que
$P(\left|X-6\right|\ge1,5)\approx 0,9332$
$\square$
