Regla de derivación de la función coseno

ENUNCIADO. Sabiendo que $(\sin\,x)'=\cos\,x$ [1], demuéstrese que $$(\cos\,x)'=-\sin\,x$$

SOLUCIÓN.
$(\cos\,x)'=(\sin\,(x+\pi/2))'=$
  $=\cos(x+\pi/2)\cdot (x+\pi/2)'$
    $=\cos(x+\pi/2)\cdot 1$
      $=\cos\,x\cdot \cos\,\pi/2-\sin\,x\,\cdot \sin\,\pi/2$
        $=(\cos\,x)\cdot 0-\sin\,x\,\cdot 1$
          $=-\sin\,x$
$\square$

Justificación de la regla de derivación de la función seno

ENUNCIADO. Justifíquese la regla de derivación de la función seno: $$(\sin\,x)'=\cos\,x$$

SOLUCIÓN. Partamos de la definición de la derivada de la función seno:
$\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,(x+\Delta\,x)-\sin\,x}{\Delta\,x}=$
  $=\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,x\cdot\cos(\Delta\,x)+\sin(\Delta\,x)\cdot \cos\,x-\sin\,x}{\Delta\,x}$
    $=\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,x\cdot(\cos(\Delta\,x)-1)+\sin(\Delta\,x)\cdot \cos\,x}{\Delta\,x}$
      $=\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,x\cdot(\cos\,\Delta\,x-1)}{\Delta\,x}+\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x\,\cos\,x}{\Delta\,x}$
        $=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta\,x)-1}{\Delta\,x}+\cos\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta\,x)}{\Delta\,x}$
          $=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta\,x)-1}{\Delta\,x}\cdot \dfrac{\cos(\Delta\,x)+1}{\cos(\Delta\,x)+1}+\cos\, x\,\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
          $=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta\,x)-1}{\Delta\,x}\cdot \dfrac{\cos^{2}(\Delta\,x)-1}{\cos(\Delta\,x)+1}+\cos\,x\cdot\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
          $=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{-\sin^{2}\,\Delta\,x}{\Delta\,x\cdot \cos(\Delta\,x)+1}+\cos\,x\cdot\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
          $=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{-\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}\cdot \dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\cos(\Delta\,x)+1}+\cos\, x\,\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
          $=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{-\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\cos(\Delta\,x)+1}+\cos\,x\cdot\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
          $\overset{(1)}{=}\displaystyle \sin\,x\cdot (-1)\cdot \dfrac{0}{1+1}+\cos\,x\cdot 1$
          $=\displaystyle 0/2+\cos\,x$
          $=\displaystyle 0+\cos\,x$
          $=\displaystyle \cos\,x$
---Aclaración (1):
$\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,x}=1$, puesto que en las proximidades del cero, un arco infinitsimal de la curva sinusoidal puede sustituirse por un segmento rectilíneo infinitesimal de pendiente uno ( la diferencia entre los valores de la función seno y los valores de función de su argmento tiende a cero al hacer tender el argumento del seno a cero ), esto es, $\sin\,\Delta\,x \rightarrow \Delta\,x$. La justificación rigurosa es púramente geométrica. Decimos que el seno y su argumento son infinitésimos equivalentes, y, en general, lo expresamos así $\sin \,\theta \sim \theta$.
$\square$

Derivada de una suma de funciones

Función derivada de una suma de funciones derivables

Consideremos la función $\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)$. De la definición de derivada $\displaystyle y'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ podemos escribir $\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x)+h(x))}{\Delta x}$ y, por la propiedad aditiva del límit, queda
$\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta h(x)}{\Delta x}$
es decir
$\displaystyle f'(x)=g'(x)+h'(x)$

Ejemplo:
Dada la función $f(x)=x^3+x^2$, su derivada es $\big(x^3\big)^{'}+\big(x^2\big)^{'}=3\,x^2+2\,x$

$\square$

Derivada de un término potencial

Derivada de un término polinómico

Sea la función $f(x)=x^n$ donde $n$ representa un número natural. Nos proponemos encontrar la regla de derivación, esto es, la estructura de la función derivada.
De la definición de derivada de una función, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ podemos escribir $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^n}{\Delta x}$$ y, por el desarrollo de la potencia de un binomio, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x^n+C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n})-x^n}{\Delta x}$$ Simplificando,
$$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n}}{\Delta x}$$ Finalmente, para resolver la indeterminación de tipo $\displaystyle\frac{0}{0}$ con la que nos encontramos, extraemos factor común de $\Delta x$ y volvemos a pasar al límite, con lo cual encontramos el siguiente resultado $$\displaystyle C_{n,1}x^{n-1}$$ que es igual a $$n\,x^{n-1}$$ es decir, $$f^{'}(x)=n\,x^{n-1}$$

Ejemplo 1:
Dada la función $f(x)=x^3$, su derivada es $f^{'}(x)=3\,x^2$

Derivada de un término potencial, con exponente ( en general ) real

Se demuestra -- puede hacerse con ayuda de los logaritmos -- que la regla de derivación anterior se extiende a exponentes reales; es decir, si $$f(x)=x^p$$ donde $k \in \mathbb{R}$, entonces $$f^{'}(x)=k\,x^{k-1}$$

Ejemplo 2:
Dada la función $f(x)=\sqrt{x}$, podemos derivarla mediante dicha regla. Para ello, reescribimos la función de la forma equivalente $$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$$; así que, siendo $k=1/2$, su derivada es igual a $f^{'}(x)=\frac{1}{2} \, x^{-\frac{1}{2}}$

Ejemplo 3:
Dada la función racional $f(x)=\frac{1}{x}$, podemos derivarla mediante esa misma regla si expresamos previamente la función a derivar como $f(x)=x^{-1}$; entonces,
como $k=-1$, su derivada es $$f^{'}(x)=-x^{-2}$$ que podemos expresar de forma equivalente así $$f^{'}(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$$

Ejemplo 4:
Dada la función $$f(x)=x^{\pi}$$ la f. derivada es $$f^{'}(x)=\pi \, \cdot \, x^{\pi-1}$$

$\square$

Regla de derivación de la función $f(x)=e^x$

Sea la función $f:\,\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ definida de la forma $$f(x)=e^x$$
donde $e$ representa el número trascendente $2,71828 \ldots$, base de los logaritmos neperianos ( o naturales )

Nos proponemos encontrar la regla de derivación de esta función, es decir, la estructura algebraica de la función derivada de la función dada.

De la definición de función derivada, $$\displaystyle \big(e^x\big)^{'}=\lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{x+\Delta \, x}-e^x}{\Delta\,x}$$
que podemos escribir de la forma$$\displaystyle \big(e^x\big)^{'}= e^{x} \cdot \lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^{\Delta \,x}-1}{\Delta\,x}$$
Es sencillo comprobar - mediante la elaboración de una tabla numérica - que $$\displaystyle \lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^{\Delta \, x}-1}{\Delta\,x}=1$$

luego deducimos $$\big(e^x\big)^{'}=e^x$$

$\square$

Derivada de la función compuesta ...

Derivada de la funció ge composada amb efa

Ens proposem obtenir la regla de derivació de la funció $h:\,\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ (funció definida sobre $\mathbb{R}$ i que prenen valors en $\mathbb{R}$ )
definida de la forma
$h=f \circ g$
funció que actua de la forma
$h(x)=f\big(g(x)\big)$
[ on $f$ i $g$ també són funcions definides sobre $\mathbb{R}$ i que prenen valors en $\mathbb{R}$ ]

Observem que
$\displaystyle \frac{\Delta h}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta g} \cdot \frac{\Delta g}{\Delta x}$

Quan passem al límit tindrem que
$\displaystyle \Delta x \rightarrow 0 \Rightarrow \Delta g(x) \rightarrow 0$

per tant, per la definició de derivada i per les propietats elementals dels límits de funcions podrem escriure
$\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta g \rightarrow 0}\frac{\Delta f} {\Delta g}\, .\, \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta g}{\Delta x}$

És a dir, fent servir una notació més abreviada:
$\displaystyle f'_{x}=f'_{g}\,.\,g'_{x}$

En composar més funcions el resultat es generalitza fàcilment; per exemple, si $\displaystyle f(x)=(g \circ h\circ ...\circ p )(x)$, la derivada es calcularà de forma {\sl encadenada}. D'aquí ve el nom de regla {\sl de la cadena}:

$\displaystyle f'_{x}=f'_{g}\,.\,g'_{h} ... p'_{x}$
$\square$

[nota del autor]

Derivada de un producto de funciones ...

Funció derivada del producte de dos funcions derivables

Considerem la funció $\displaystyle f(x)=g(x)\,\cdot\,h(x)$. De la definició de derivada
$\displaystyle y'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
tenim que
$\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x)\,\cdot\,h(x))}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(g(x+\Delta x)\,\cdot\,h(x+\Delta x)-g(x)\,\cdot\,h(x))}{\Delta x}$

Tenint en compte que
$\displaystyle g(x+\Delta x)=g(x)+\Delta g(x)$ i $\displaystyle h(x+\Delta x)=h(x)+\Delta h(x)$, podrem escriure el numerador del límit de la forma
$(g(x)+\Delta g(x))\,\cdot\,(h(x)+\Delta h(x))-g(x)\,\cdot\,h(x)$
que, desenvolupat i simplificat, és igual a
$g(x)\,\cdot\,h(x)+\Delta (g(x)) \,\cdot\,h(x)+\Delta (h(x))\,\cdot\,g(x) + (\Delta x)^2 - g(x)\,\cdot\,h(x)$
Simplificant escrivim
$h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x)) +g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x)) + (\Delta x)^2$

El quocient incremental el tornem a escriure, ara, de la forma
$\dfrac{h(x)\, \cdot \,\Delta (g(x)) +g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x)) + (\Delta x)^2}{\Delta x}$
i simplificant
$\dfrac{h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x))}{\Delta x} +\dfrac{g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x))}{\Delta x} + \dfrac{(\Delta x)^2)}{\Delta x}$

Finalment, en passar al límit, escriurem
$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{h(x)\,\cdot\,\Delta (g(x))}{\Delta x} +\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{g(x)\,\cdot\,\Delta (h(x))}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(\Delta x)^2)}{\Delta x}$

Tenint en compte els factors constants en l'operació de límit podem posar-ho de la forma,
$\displaystyle h(x)\,.\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x))}{\Delta x} +g(x)\,.\,\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (h(x))}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Delta x$
I, finalment, tenint en compte que el tercer sumand és nul i la pròpia definició de derivada per a les funcions $g(x)$ i $h(x)$ trobem

$f'(x)=h(x)\,\cdot \,g'(x)+g(x)\,\cdot \,h'(x)$

$\square$

[nota del autor]

Reglas de derivación. Derivada de un cociente de funciones ...

Funció derivada del quocient de dos funcions derivables

Considerem la funció
$\displaystyle f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$
De la definició de derivada (límit del quocient incremental) podem començar escrivint

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{\Delta(\dfrac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

Seguint un procés semblant al de la deducció de la regla de derivació del producte de funcions tindrem

$\displaystyle f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\dfrac{g(x)+\Delta (g(x))}{h(x)+\Delta (h(x))}-\dfrac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

Reduint a comú denominador (el denomidador), simplificant i passant al límit tot tenint en compte la pròpia definició de derivada per a les funcions que intervenen en el quocient de funcions ($g(x)$ i $h(x)$) obtindrem finalment

$f'(x)=\dfrac{g'(x)\,.\,h(x)-h'(x)\,.\,g(x)}{(h(x))^2}$
$\square$

[nota del autor]

Reglas de derivación ...

Funció derivada de la funció recíproca d'una funció donada

Per comoditat, farem servir la notació $y_x$ per designar $f(x)$ i $y^{'}_{x}$ la derivada d'aquesta funció respecte de $x$. Semblantment, s'entén que $x_y$ representa la funció recíproca de $f(x)$, $f^{-1}(x)$, i $x^{'}_y$ la seva derivada.

Per començar a construir la derivada de la funció recíproca de $f(x)$, és a dir, de $y_x$, considerem el quocient incremental $\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta y}$ per, després, passar al límit quan $\Delta \,x \rightarrow 0$ i, d'aquesta manera, obtenir $x^{'}_{y}$, és a dir $\big(f^{-1}(x)\big)^{'}$.

Notem que podem escriure aquest quocient incremental de la forma $\displaystyle\frac{1}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{\Delta x}{\Delta y}$. En passar al límit quan $\Delta x$ i $\Delta y$ tendeixen a zero, per la definició de derivada, deduïm que $\displaystyle x^{'}_y=\frac{1}{y^{'}_x}$.

Tot seguit, aplicarem aquesta regla general de derivació de funcions recíproques a alguns casos particulars:

Derivada de la funció logaritme neperià

Sigui la funció (directa) $y_x=\ln{x}$ [ la notem d'aquesta manera i no de la forma habitual, $f(x)=\ln{x}$, perquè és una notació més còmoda per continuar amb els càlculs següents]
que, naturalment, és la funció recíproca (o inversa) de la funció $x_y=e^y$ [i, a la vegada, aquesta és recíproca de $y_x$, és clar].

A partir de la regla general, deduïda a dalt, podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\dfrac{1}{(e^y)^{'}_y}$
i, com que la funció derivada de la funció exponencial $e^y$ és igual a si mateixa
$\big(e^y\big)^{'}=e^y$
trobem que el resultat de derivar la funció $y_x=ln(x)$
(recíproca de $x_y=e^y$ )
és igual a
$\displaystyle \frac{1}{e^y}$
és a dir
$y^{'}_{x}=\dfrac{1}{x}$
ja que $e^y=x_y$

Derivada de la funció recíproca de la funció sinus

Sigui la funció $y_x=\arcsin{x}$, funció recíproca de la funció $x_y=\sin{y}$.
A partir de la regla anterior podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\sin{y})^{'}}$
tenint en compte que la funció derivada de la funció directa
$\displaystyle x_y=\sin{y}$
és igual a
$\displaystyle \cos{y}=\sqrt{1-\sin^{2}{y}}$
i que
$\displaystyle \sin^{2}{y}=x^2$
arribem a
$y^{'}_x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Derivada de la funció recíproca de la funció cosinus

Sigui la funció $\displaystyle y_x=\arccos{x}$, funció recíproca de la funció $\displaystyle x_y=\cos{y}$
A partir de la regla general de derivació d'una funció recíproca podem escriure
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\cos{y})^{'}}$
i com que la funció derivada de la funció directa $x_y=\cos{y}$
és igual a
$\displaystyle -\sin{y}$ que podem escriure de la forma $-\sqrt{1-\cos^{2}{y}}$
i, tenint en compte, a més, que
$\cos^{2}{y}=x^2$
obtenim
$\displaystyle y^{'}_x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Derivada de la funció recíproca de la funció tangent

Sigui la funció $\displaystyle y_x=\arctan{x}$, recíproca de la funció $x_y=\tan{y}$.
De la regla deduïda per derivar funcions recíproques (en general), escriurem
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{(\tan{y})^{'}}$
I, atès que la funció derivada de la funció directa $x_y=\tan{y}$ és igual a
$\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}{y}}$
tenint en compte la identitat fonamental
$\displaystyle \sin^{2}{y}+\cos^{2}{y}=1$
i dividint a cada membre per $\cos^{2}{y}$ escriurem la identitat
$\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}{y}}=\frac{1}{1+\tan^{2}{y}}$
amb la qual cosa s'obté finalment
$\displaystyle y^{'}_x=\frac{1}{1+x^2}$
$\square$

[nota del autor]

Calcular las derivadas de las siguientes funciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Trobeu la funció derivada de les següents funcions:
    a) $f(x)=(5-4\,x)^{6}$
    b) $g(x)=\sqrt[3]{x^2}$
    c) $h(x)=\dfrac{1}{x^2}$
    d) $l(x)=x\,\cdot\,e^{x}$

  a)
Fent ús de la regla de derivació de les funcions potencials i de la regla de la composició de funcions (regla de la cadena) s'obté
$f^{'}(x)=6\,(5-4x)^{5} \, (5-4x)^{'}$
és a dir
$f^{'}(x)=-24\,(5-4x)^{5}$
$\square$

  b)
Escrivint l'expressió amb radicals en forma de potència de base $x$ d'exponent racional, podrem escriure
$\displaystyle g(x)=x^{\frac{2}{3}}$
I aplicant, ara, la regla de derivació de les funcions potencials
$\displaystyle g^{'}(x)=\dfrac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1}$
que també es pot expressar de la forma
$g^{'}(x)=\dfrac{2}{3\,\sqrt[3]{x}}$
$\square$

  c)
Expressant l'expressió algèbrica en forma de potència de base $x$ amb exponent racional, podrem escriure
$\displaystyle h(x)=x^{-2}$
I aplicant, ara, la regla de derivació de les funcions potencials
$\displaystyle h^{'}(x)=-2\,x^{-2-1}$
que, simplificant i expressant en forma de fracció algèbrica, queda
$h^{'}(x)=-\dfrac{2}{x^3}$
$\square$

  d)
Aquí farem ús de la regla de derivació d'un producte de funcions, atès que els factors de l'expressió $x$ i $e^x$ són de naturalesa ben diferent i, per tant, no podem compactar prèviament
$\displaystyle l^{'}(x)=(x)^{'}\,e^x+x\,\bigg(e^{x}\bigg)^{'}$
per tant
$\displaystyle l^{'}(x)=e^x+x\,e^x$
I, extraient factor comú, podem simplificar de simplificar, escrivint finalment
$\displaystyle l^{'}(x)=e^{x}\big(x+1\big)$
$\square$

[nota del autor]