Enunciat:
Trobeu la funció derivada de les següents funcions:
a) $f(x)=(5-4\,x)^{6}$
b) $g(x)=\sqrt[3]{x^2}$
c) $h(x)=\dfrac{1}{x^2}$
d) $l(x)=x\,\cdot\,e^{x}$
a)
Fent ús de la regla de derivació de les funcions potencials i de la regla de la composició de funcions (regla de la cadena) s'obté
$f^{'}(x)=6\,(5-4x)^{5} \, (5-4x)^{'}$
és a dir
$f^{'}(x)=-24\,(5-4x)^{5}$
$\square$
b)
Escrivint l'expressió amb radicals en forma de potència de base $x$ d'exponent racional, podrem escriure
$\displaystyle g(x)=x^{\frac{2}{3}}$
I aplicant, ara, la regla de derivació de les funcions potencials
$\displaystyle g^{'}(x)=\dfrac{2}{3}\,x^{\frac{2}{3}-1}$
que també es pot expressar de la forma
$g^{'}(x)=\dfrac{2}{3\,\sqrt[3]{x}}$
$\square$
c)
Expressant l'expressió algèbrica en forma de potència de base $x$ amb exponent racional, podrem escriure
$\displaystyle h(x)=x^{-2}$
I aplicant, ara, la regla de derivació de les funcions potencials
$\displaystyle h^{'}(x)=-2\,x^{-2-1}$
que, simplificant i expressant en forma de fracció algèbrica, queda
$h^{'}(x)=-\dfrac{2}{x^3}$
$\square$
d)
Aquí farem ús de la regla de derivació d'un producte de funcions, atès que els factors de l'expressió $x$ i $e^x$ són de naturalesa ben diferent i, per tant, no podem compactar prèviament
$\displaystyle l^{'}(x)=(x)^{'}\,e^x+x\,\bigg(e^{x}\bigg)^{'}$
per tant
$\displaystyle l^{'}(x)=e^x+x\,e^x$
I, extraient factor comú, podem simplificar de simplificar, escrivint finalment
$\displaystyle l^{'}(x)=e^{x}\big(x+1\big)$
$\square$
