Un ejemplo de clasificación y caracterización de cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: 2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$$

Hemos visto que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En el caso que nos ocupa, $a=2$, $b=0$ y $c=4$, por lo que $\Delta = 0^2 - 4\cdot 2 \cdot 4 = -32 \lt 0$, luego la ecuación general dada corresponde a una elipse.

Para encontrar sus elementos característicos, transformaremos la ecuación general en la ecuación reducida $$\mathcal{C}: \dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1 \quad (1)$$ donde $C(x_C,y_C)$ es el centro de la elipse; y, $a$ y $b$ son sus semiejes.

Empecemos las transformaciones,
$2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$
  $(2x^2+5x)+(4y^2-4y)-1=0$
    $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=\frac{0}{2}$
      $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
        $(x+\frac{5}{4})^2-(\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
          $(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
            $(x+\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{33}{16}=0$
              $\frac{1}{2}\cdot (x+\frac{5}{4})^2+\frac{1}{2}\cdot (2y^2-2y)-\frac{1}{2}\cdot \frac{33}{16}=0$
                $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+\frac{2}{2}\cdot (y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                  $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                    $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                          $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                            $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-\frac{33}{32}=0$
                              $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{41}{32}=0$
                                $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}-\frac{41}{32}=0$
                                  $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\frac{41}{32}$
                                    $\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \frac{41}{32}$
                                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{\frac{41}{32}\cdot (\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{\frac{41}{32}\cdot 1}=1$
                                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=1 \quad (1')$

Comparando (1) con (1'), es claro que: $x_C=-\frac{5}{4}$, $y_C=\frac{1}{2}$, y por tanto el centro es el punto $C(-\frac{5}{4},\frac{1}{2})$, siendo las ecuaciones de los ejes de la elipse: $\text{e}_x:x=-\frac{5}{4}$ y $\text{e}_y:y=\frac{1}{2}$ y ; $a=\sqrt{\frac{41}{16}}$, $b=\sqrt{\frac{41}{32}}$. Por otra parte, sabemos que la excentricidad de una elipse se define como $e:=\dfrac{c}{a}$, donde $c$ es la distancia del centro de la elipse a los focos, cumple la relación $c^2=a^2-b^2$ -Nota: recordemos, sin embargo, que en una hipérbola, por el mismo significado del parámetro $c$ la relación que se verifica es $c^2=a^2+b^2$-, luego $c=\sqrt{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2-(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=\sqrt{\frac{41}{16}-\frac{41}{32}}=\sqrt{\frac{41}{32}}$, por consiguiente, $e=\dfrac{ \sqrt{\frac{41}{32}}} {\sqrt{\frac{41}{16}}} =\sqrt{16}{32}=\sqrt{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071 \lt 1$, como debe ser tratándose de una elipse.

Calculemos ahora las coordenadas de los focos, $F$ y $F'$:
Sabemos que:
  $x_F=x_C+\text{dist}(C,F)=x_C+c=-\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F(-\frac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$
  $x_F'=x_C-\text{dist}(C,F')=x_C-\text{dist}(C,F)=x_C-c=-\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F'=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F'(-\frac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$

Y, finalmente, los cuatro vértices de esta elipse, $V_{\text{eje horizontal}}$ y $V'_\text{eje horizontal}$, y $V_\text{vertical}$ y $V'_\text{vertical}$:

    $V_{\text{eje horizontal}}=( -\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V'_\text{eje horizontal}=( -\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}+\sqrt{\frac{41}{32}})$
    $V'_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}-\sqrt{\frac{41}{32}})$
$\diamond$

Un ejercicio de incidencia de dos circunferencias

Consideremos las siguientes circunferencias: $\text{Cir}_1:x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)$ y $\text{Cir}_2:x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)$. Nos proponemos averiguar de qué tipo son, calcular los centros y los radios respectivos, y determinar los puntos de intersección entre ellas.

Veamos la primera. Como corresponde a una circunferencia con centro en otro punto distinto del origen de coordenadas, la escribiremos como $\text{Cir}_1:(x-x_{c_{1}})^2+(y-y_{c_{1}})^2-r_{1}^2=0$, esto es, $\text{Cir}_1:x^2-2x_{c_{1}}\,x+x_{c_{1}}^2+y^2-2x_{c_{1}}\,y+y_{c_{1}}^2 \quad (1')$, y comparando (1) con (1') deducimos: $x_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$, $y_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_1=\sqrt{x_{c_{1}}^2+y_{c_{1}}^2)-(-90)}=\sqrt{3^2+3^2+90}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Analicemos ahora con la segunda, haciendo lo mismo: $\text{Cir}_2:(x-x_{c_{2}})^2+(y-y_{c_{2}})^2-r_{2}^2=0$, y por tanto, $\text{Cir}_2:x^2-2x_{c_{2}}\,x+x_{c_{2}}^2+y^2-2x_{c_{2}}\,y+y_{c_{2}}^2 \quad (2')$, y comparando (2) con (2') deducimos: $x_{c_{2}}=-\dfrac{-2}{2}=1$, $y_{c_{2}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_2=\sqrt{x_{c_{2}}^2+y_{c_{2}}^2)-(-90)}=\sqrt{1^2+3^2+90}=\sqrt{100}=10\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Finalmente, calculemos los puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)\\ x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$$ Restando la segunda de la primera: obtenemos $4x=0 \Leftrightarrow x=0$, y sustituyendo en (1):
  $0^2+y^2-6\cdot 0-6y-90=0$
    $y^2-6y-90=0$
      $y=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-90)}}{2\cdot 1}=\dfrac{6\pm 6\sqrt{11}}{2}=3\cdot (1\pm \sqrt{11})$, luego estas dos circunferencias se intersecan en dos puntos: $A(0\,,\,3\cdot (1 + \sqrt{11}))$ y $B(0\,,\,3\cdot (1 - \sqrt{11}))$
$\diamond$

Cónicas. Ecuación de una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad dada, semieje mayor dado y centro dado.

ENUNCIADO. Hállese la ecuación de una elipse con los ejes paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad $\epsilon=0,6$, con semieje mayor $a=15$, y centrada en $C(2,-1)$. Determínense los elementos notables de la misma.

SOLUCIÓN. La ecuación de la elipse en las condiciones del enunciado toma la forma $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{b^2}=1$$ Como $\epsilon = \dfrac{c}{a}$ ( donde $c$ es la semidistancia entre los focos ) tenemos que $$0,6 = \dfrac{c}{15} \Rightarrow c=9$$ por otra parte sabemos que en una elipse ha de cumplirse que $a^2=b^2+c^2$ con lo cual $$b^2=15^2-9^2=144 \Rightarrow b=12$$ Por consiguiente, la ecuación pedida es $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{12^2}=1$$ Así pues, teniendo en cuenta la traslación de la elipse reducida $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ ( centrada en el origen de coordenadas ) al punto $C(2,-1)$, las coordenadas de los dos focos son $F(9+2,0+(-1))$ y $F'(-9+2,0+(-1))$, respectivamente; esto es
$$F(11,-1) \quad \text{y}\quad F'(-7,-1)$$ Por lo que respecta a los vértices, si la elipse centrada en el origen de coordenadas $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ tiene por vértices $A(15,0)$, $A'(-15,0)$: $B(0,12)$ y $B'(0,-12)$, atendiendo a la traslación de dicha elipse al punto $C(2,-1)$, los vértices de la elipse pedida son $A(15+2,0+(-1))$, $A'(-15+2,0+(-1))$, $B(0+2,12+(-1))$ y $B'(0+2,-12+(-1))$; esto es $$A(17,-1), A'(-13,-1), B(2,11) \; \text{y}\, B'(2,-13)$$
$\square$

Cónicas. Ecuación reducida de la parábola ( vértice en el origen de coordenadas )

ENUNCIADO. Demuéstrese que la ecuación de una parábola cuya recta de simetría coincide con el eje Ox ( $y=0$ ) y cuyo vértice se encuentra en el origen de coordenadas, $V(0,0)$, y tal que éste equidista una distancia $p$ de la recta directriz $d$ ( perpendicular al eje Ox ) y del foco $F$ ( que está en el eje Ox, a la derecha del origen de coordenadas ) puede escribirse como $y^2=4px$

SOLUCIÓN. La condición para que un punto genérico $X(x,y)$ pertenezca al lugar geométrico es $$\text{dist}(d,X)=\text{dist}(X,F)$$ Teniendo en cuenta que $F(p,0)$ y que y la recta directriz tiene por ecuación $x=-p$, $$p+x=\sqrt{(x-p)^2+(y-0)^2}$$ y por tanto $$(p+x)^2=(x-p)^2+y^2$$ esto es $$x^2+2px+p^2=x^2-2px+p^2+y^2$$ y simplificando llegamos a $$y^2=4px$$

NOTA: En el caso de que el foco esté a la izquierda del vértice, tenemos que $F(-p,0)$ y la recta directriz tiene ahora por ecuación $x=p$; repitiendo el mismo proceso que antes, $$p+x=\sqrt{(x-(-p))^2+(y-0)^2}$$ por tanto $$(-p+x)^2=(x+p)^2+y^2$$ con lo cual $$x^2-2px+p^2=x^2+2px+p^2+y^2$$ y simplificando se obtiene $$y^2=-4px$$

OBSERVACIÓN: En lo que se ha hecho, $p$ representa la distancia del foco al vértice. Sin embargo, en algunos libros ( como por ejemplo en el libro de texto que hemos utilizado en este curso ) se da la ecuación de la parábola de la forma $$y^2=2px$$ ( habitualmente usando la misma letra '$p$' ), donde $p$ hay que interpretarla en estos casos como la mitad de la distancia del vértice al foco.

Un ejercicio sobre secciones cónicas

ENUNCIADO. Determínense los elementos notables de las siguientes secciones cónicas:
a) $x^2+y^2-4x+6y+9=0$
b) $y^2-4y-4x=0$
c) $25\,x^2+m\,y^2=3600$, siendo ésta una elipse y uno de sus focos el punto $F(7,0)$
d) Una cónica con centro $C(2,2)$, con excentricidad igual a $3$, y siendo uno de sus focos el punto $F(6,2)$

SOLUCIÓN.
(a)
$x^2+y^2-4x+6y+9=0$
  $(x^2-4x)+(y^2+6y)+9=0$
    $((x-2)^2-4)+((y+3)^2-9)+9=0$
      $(x-2)^2+(y+3)^2=4$
        $(x-2)^2+(y+3)^2=2^2$
          $(x-2)^2+(y-(-3))^2=2^2$
Lo obtenido arriba es la ecuación de una circuferencia, $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$, centrada en $C(2,-3)$ con radio $R=2$. Y, por supuesto, la excentricidad de dicha cónica, que es un caso particular de una elipse es $\epsilon=0$.

(b)
$y^2-4y-4x=0$
  $(y^2-4y)-4x=0$
    $((y-2)^2-4)-4x=0$
      $(y-2)^2=4x+4$
        $(y-2)^2=4(x+1)$
          $(y-2)^2=4(x-(-1))$
            $(y-2)^2=2\cdot 2(x-(-1))$, que es del tipo $(y-y_{O'})^2=2p\,(x-x_{O'})$ y, por tanto, una parábola, con vértice en $V(-1,2)$. Además, teniendo en cuenta que la ecuación de la parábola reducida es $y^2=2px$, con vértice en el origen de coordenadas $O(0,0)$, al ser $p=2$, el foco ha de ser el punto $F(0,2)$ ), y la recta directriz, que tiene por ecuación $x=-p$, es $\text{r.d.}\equiv x=-2$. Por otra parte, el valor de la excentricidad de una parábola es $\epsilon=1$, habida cuenta de que la distancia de cualquier punto de la parábola a la recta directriz es la misma que la distancia de dicho punto al foco.

(c)
La elipse ( enunciado ) $25\,x^2+m\,y^2=3600$ ( con lo cual $m$ ha de ser positivo ), que está centrada en $O(0,0)$, puede escribirse de la forma $$\dfrac{x^2}{3600/25}+\dfrac{y^2}{3600/m}=1$$ luego, teniendo en cuenta que la ecuación de la elipse reducida es de la forma $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ ( con semieje mayor, $a$, en el eje Ox ), vemos que $a=\sqrt{3600/25}=12$ y $b=\sqrt{3600/m}$. Sabemos también que uno de los focos es $F(7,0)$, con lo cual el otro foco es $F'(-7,0)$, y $c=7$. Por otra parte, teniendo en cuenta que en una elipse $a^2=b^2+c^2$, vemos que $144=\dfrac{3600}{m}+7^2$, de donde, despejando $m$, se tiene que $m=\dfrac{720}{19}$. Por consiguiente, la excentricidad es $\epsilon \overset{\text{def}}{=}\dfrac{c}{a}=\dfrac{7}{12}$, que es menor que $1$ como debe ser. Como el valor de $b^2$ es igual a $3600/m$, resulta que $b^2=\dfrac{3600}{720/19}=95$, luego $b=\sqrt{95}$. También podemos escribir las coordenadas de los vértices: $A(a,0)$, $A'(-a,0)$; $B'(0,b)$ y $B'(0,-b)$; esto es, $A(12,0)$, $A'(-12,0)$; $B'(0,\sqrt{95})$ y $B'(0,-\sqrt{95})$. La ecuación de la elipse pedida, $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, se concreta pues de la forma $$\dfrac{x^2}{12^2}+\dfrac{y^2}{(\sqrt{95})^2}=1$$

(d)
Como $\epsilon=3\succ 1$ la cónica pedida es una hipérbola,y teniendo en cuenta que está centrada en $C(2,2)$ podemos escribirla de la forma $$\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$$ esto es $$\dfrac{(x-2)^2}{a^2}-\dfrac{(y-2)^2}{b^2}=1$$ Por otra parte, al ser uno de sus focos el punto $F(6,2)=F(c+x_C,0+y_C)$, deducimos de ello el valor de $c$, pues $6=c+2 \Rightarrow c=4$; y como $\epsilon=3=\dfrac{c}{a}$, vemos que de $4/a=3 \Rightarrow a=4/3$. Calculemos ahora el valor de $b$ teniendo encuenta que, en una hipérbola, $c^2=a^2+b^2$ y, por tanto, en el caso que nos ocupa $(4/3)^2+b^2=4^2 \Rightarrow b=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}$. Así pues, ya podemos concretar la ecuación de la elipse pedida $$\dfrac{(x-2)^2}{(4/3)^2}-\dfrac{(y-2)^2}{(8\,\sqrt{2}/3)^2}=1$$

Vértices de la hipérbola:
$A(a+x_C,0+y_C) \rightarrow A(4/3+2,0+2)$ esto es $A(10/3,2)$
$A'(-a+x_C,0+y_C) \rightarrow A'(-4/3+2,0+2)$ esto es esto es $A'(2/3,2)$
$B(0+x_C,b+y_C) \rightarrow B(0+2,8\sqrt{2}/3+2)$ esto es $B(2,8\sqrt{2}/3+2)$
$B'(0+x_C,-b+y_C) \rightarrow B'(0+2,-8\sqrt{2}/3+2)$ esto es $B'(2,-8\sqrt{2}/3+2)$

rectas asíntotas:
$\text{r.a}_1\equiv \dfrac{x-2}{4/3}=\dfrac{y-2}{8\,\sqrt{2}/3}$
$\text{r.a}_2\equiv \dfrac{x-2}{-4/3}=\dfrac{y-2}{8\,\sqrt{2}/3}$

$\square$

Ecuación general cuadrática de una cónica. Giro de los ejes de coordenadas. Discriminante. Clasificación de una cónica a partir del discriminante.

Clasificación de secciones cónicas a partir de la ecuación cuadrática general que la describe

ENUNCIADO.
Clasifíquense las siguientes secciones cónicas a partir de la ecuación cuadrática general que describe las mismas

                        $\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0$

a)   $y^2+3x+5y-8=0$
b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
c)   $y^2 + x - y -4 =0$
d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$

SOLUCIÓN.
Recordemos el criterio de clasificación basado en el signo del determinante $\delta=b^2-4ac$
        Si $\delta$ < $0 \, \rightarrow$ elipse
        Si $\delta \succ 0$ $\, \rightarrow$ hipérbola
        Si $\delta$ = 0 $\, \rightarrow$ parábola

[Nota: No se ha incluido ninguno de loas casos particulares de degeneración, que llevan a los casos de rectas parelelas, secantes, coincidentes, o incluso rectes imaginarias, ... , puntos]
Recordemos también que si $b \ne 0$, los ejes de la cónica (o la recta de simetría, si se tractase de una parábola) no son paralelos a los ejes de coordenadas.

Entonces,
a)   $y^2+3x+5y-8=0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, por tanto $\delta=0 \, \rightarrow$ parábola ( amb la recta de simetría paralela al eje de abscisas, puesto que $b = 0$ )

b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
      $b=0$, $a=2$, $c=4$, con lo cual $\delta=-32 \, \rightarrow$ elipse (con los ejes de la cónica paralelos a los ejes de coordenades, ya que $b = 0$ )

c)   $y^2 + x - y -4 =0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, por tanto $\delta=0 \, \rightarrow$ parábola
(siendo la recta de simetría paralela al eje de abscisas, pues $b = 0$ )

d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
      $b=1$, $a=1$, $c=1$, d'on $\delta=-4 \, \rightarrow$ elipse (con los ejes de la misma no paralelos a los ejes de coordenades, habida cuenta de que $b \ne 0$ )

e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
      $b=0$, $a=1$, $c=-1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ hipérbola (con los ejes de la misma no paralelos a los ejes de coordenadas, pues $b \ne 0$ )

f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$
      $b=0$, $a=c=1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ elipse, y, como $a=c$ es, en particular, una circumferència (excentricitat nula).
$\square$

Ecuación de una circunferencia en forma desarrollada. Centro y radio.

ENUNCIADO. Se considera la circunferencia $\mathcal{C}\equiv x^2+y^2-2x+6y+6=0$. Determínense las coordenadas de su centro y el valor de su radio.

SOLUCIÓN. Haciendo un poco de álgebra vemos que $x^2+y^2-2x+6y+6=0$ puede escribirse en la forma centro-radio:
$x^2+y^2-2x+6y+6=0$
  $\left((x-1)^2-1^2\right)+\left((y+3)^2-3^2\right)+6=0$
    $(x-1)^2+(y+3)^2-1-9+6=0$
      $(x-1)^2+(y+3)^2-4=0$
        $(x-1)^2+(y+3)^2=4$
          $(x-1)^2+(y-(-3))^2=2^2$
que adopta la forma de la ecuación de la circunferencia en forma centro-radio: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
de lo cual se deduce que el centro de la circunferencia es el punto $C(1,-3)$ y el radio es $r=2$
$\square$

Ejercicios de lugar geométrico. Circunferencias.

ENUNCIADO. Se considera la circunferencia $\mathcal{C}$ de centro $C(1,2)$ y radio $4$. Escríbase la ecuación de dicha circunferencia.
SOLUCIÓN. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro una distancia dada ( a la que denominamos radio ), esto es $\mathcal{C}\equiv \{X(x,y):\text{dist}(X,C)=r\}$, donde $\text{dist}(X,C)=\sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2}$

En nuestro caso, $$\mathcal{C}\equiv \{X(x,y):\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=4\}$$ Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad en la expresión de la condición $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=4$, podemos escribir la ecuación pedida: $$\mathcal{C}\equiv (x-)^2+(y-2)^2=4^2$$, que en forma desarrollada es $$\mathcal{C}\equiv x^2+y^2-2x-4y-11=0$$
$\square$

Un exercici de geometria analítica per determinar els elements d'una hipèrbola

Enunciat:
Considereu una hipèrbola equilàtera que té per equació $h:\,x\,y=1$ (referida a les seves asímptotes). Determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica.

Resolució:
Sabem que l'equació d'una hipèrbola equilàtera en forma canònica (Figura 1) és
$x^2-y^2=a^2$
i té per asímptotes les rectes $y=\pm x$

Figura 1

Si girem els eixos $45º$ en el sentit contrari a les agulles del rellotge (Figura 2), hem vist que l'equació s'escriu de la forma
$x\,y=\dfrac{a^2}{2}$
i parlem, llavors, d'equació de la hipèrbola referida a les seves asímptotes, ja que en fer el gir de 45º, els nous eixos de coordenades passen a ser les rectes asímptotes [ els antics eixos de coordenades es representen a la figura en forma discontínua ]

Figura 2

Com que
$\dfrac{a^2}{2}=1$
deduïm que
$a=\pm \sqrt{2}$

Sabem que les coordenades dels focus són:
$F(a,a)$
$F'(-a,-a)$
per tant, podem especificar els seus valors
$F(\sqrt{2},\sqrt{2})$
$F'(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$

El valor de $c$ ve donat per la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ en una hipèrbola
$c^2=a^2+b^2$
i com que $a=b$
$c^2=2\,a^2$
és a dir
$c=\sqrt{2}\,a$
recordem, però, que
$a=\sqrt{2}$
i, per tant,
$c=2$

Amb això, ja podem calcular el valor de l'excentricitat $e=c/a$
$e=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} > 1$
(més gran que u, tal i com, s'espera per a una hipèrbola)

Calculem, ara, les coordenades dels vèrtexs A i A'; per això, tenim en compte que
aquests punt són els p. d'intersecció entre la recta d'equació $y=x$ (vegeu la figura) i la hipèrbola $x\,y=1$

resolent el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x\,y=1\\y=x\\ \end{matrix}\right\}$
trobem
$A(1,1)$
$A'(-1,-1)$

pel que fa als vèrtexs imaginaris B, B', observem que es troben damunt d'una circumferència de radi igual a $a$, igual que els altres dos vèrtexs A i A' (ja determinats): B es situa al 2n quadrant i B' al quart (tots dos damunt la bisectriu $y=-x$)

per tant
$B(-1,1)$
$B'(1,-1)$

$\square$

Classificació de còniques

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica:
$y^2+2y-6x+1=0$

Resolució:
Veiem - fàcilment - que podem escriure l'equació de la forma
$(y+1)^2=6x \quad \quad (1)$
i, per tant, és obvi que correspon a una paràbola, que, en forma canònica (estàndard) és del tipus
$y^2=2px \quad \quad (2)$
que té el vèrtex situat a l'origen de coordenades, el focus en el punt
$(\dfrac{p}{2},0)$
i recta directriu d'equació
$x=-\dfrac{p}{2}$

En el cas que ens ocupa, el vèrtex es situa en el punt de coordenades $(-1,0)$, atès que (1) es pot posar de la forma
$\big(y-(-1)\big)^2=6x$

Per comparació de (1) i (2) trobem que
$2p=6$
és a dir
$p=3$

Llavors, considerant la translació [ de vector de translació $\vec{t}=(x_V,y_V)$, amb $x_V=0$ i $y_V=-1$ ] que transforma la paràbola donada per (2) en la paràbola donada per (1), el focus de la paràbola (1) ve donat per
$F(p/2,0+y_V)$
i com que el valor de $p/2$ és igual a $3/2$
$x_V=0$ i $y_V=-1$
és el punt
$F(\dfrac{3}{2},-1)$

la recta directriu corresponent a (2) - i també a (1) - té per equació
$rd:\,x=-\dfrac{p}{2}$
és a dir
$rd:\,x=-\dfrac{3}{2}$

Figura 1

$\square$

Llocs geomètrics. Corves còniques.

Ejercicio sobre hipérbolas

Elipose generada por un punto de un segmento que desliza entre dos rectas perpendiculares ... ( Artículo escrito en catalán )

[ construcción interactiva ]

[nota del autor]

Clasificar la siguiente cónica ...

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica, determineu els seus elements, i feu-ne una representació gràfica: $2x^2+y^2-4x+2y+1=0$

Resolució:
Si escrivim l'equació general d'una cònica
$c_{xx}\,x^2+c_{xy}\,xy+c_{yy}\,y^2+c_{x}\,x+c_{y}\,y+c_{0}=0$
i comparem amb l'equació de la cònica de l'enunciat trobem que

$c_{xx}=2$, $c_{xy}=0$, i $c_{yy}=1$

per tant, el valor del discriminant
$\Delta=c_{xy}^2-4\,c_{xx}\,c_{yy}$
que ens ha de servir per classificar-la, és igual a
$0^2-4\cdot 2 \cdot 1 < 0$ la qual cosa ens diu que la cònica de l'enunciat és una el·lipse. I, donat que $c_{xy}=0$, podem afirmar que els eixos d'aquesta el·lipse són paral·lels als eixos de coordenades cartesianes.

Mirem d'assemblar l'equació donada (escrita en forma general) a l'equació de la forma

$\dfrac{x-x_0}{\square^2}+\dfrac{y-y_0}{\square^2}=1 \quad \quad (1)$

per tal de poder determinar les coordenades del centre de l'el·lipse $(x_0,y_0$
i el valor dels semieixos $a$ i $b$, que corresponen a les quantitats que figuraran als denominadors; sent el semieix major $a$ la més gran de les dues, i el semieix menor $b$, la més petita.

Tenint en compte que
$y^2+2y+1=(y+1)^2$
podem escriure l'equació de la cònica de la forma
$2x^2-4x+(y+1)^2=0$

Dividint per $2$ ambdós membres de la igualtat ens queda
$x^2-2x+\dfrac{(y+1)^2}{2}=0$
i, tenint en compte la identitat del quadrat del binomi, podem expressar
$x^2-2x$ de la forma $(x-1)^2-1$
per tant, la podrem escriure de la forma

$\dfrac{(x-1)^2}{1^2}+\dfrac{(y-(-1))^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1 \quad \quad (2)$

amb la qual cosa, és obvi - per comparació amb l'equació tipus (1) - quins són el semieixos major i menor i el valor que prenen
semieix major: $a=|\sqrt{2}|$
semieix menor $b=1$
i, també, quin és el centre $C$ de l'el·lipse, el punt de coordenades $(1,-1)$

Atenent la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ (la meitat de la distància focal)
$a^2=b^2+c^2$, podem també calcular - a partir dels valors que ja coneixem de $a$ i de $b$ - el valor de $c$

$c=\left|\sqrt{\big(|\sqrt{2}|\big)^2-1^2}\right|=1$

I, d'aquí, trobem el valor de l'excentricitat, que es defineix com la raó aritmètica
$e=\dfrac{c}{a}$
substituint els valors calculats
$e=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$
que - com era d'esperar (estem estudiant una el·lipse) - pren un valor més petit que u.

Com que els eixos de simetria d'aquesta el·lipse són paral·lels a als eixos de coordenades, i passen pel centre de l'el·lipse $C(1,-1)$, podem escriure també les seves equacions de forma immediata:
$e_1:\,x=1$
$e_2:\,x=-1$

Calcularem, ara, les coordenades dels focus i dels vèrtexs; per això, cal partir de les coordenades dels focus i vèrtexs de l'el·lipse centrada a l'origen de coordenades, la qual té per equació l'e. reduïda

$\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{\big(|\sqrt{2}|\big)^2}=1$

per, després, fer la translació d'aquesta - segons el vector de translació $\vec{t}=(x_0,y_0)$ [ recordem que $x_0=1$ i que $y_0=-1$ ], obtenint les coordenades que cerquem (focus i vèrtexs de l'el·lipse amb el centre que toca).

vèrtexs de l'el·lipse (A, A'; B, i B') [recordem que $a=|\sqrt{2}|$ (semiexi major) i que $b=1$ (semieix menor, ja que $|\sqrt{2}| >1$; i tinguem en compte també, que, com que el valor del semieix major es troba al denominador del terme en $y$ (equació (2)), en aquest problema els vèrtexs A i A' es situen damunt de l'eix Oy, i els vèrtexs B i Bi, damunt de l'eix Oy ]:
$A(x_0,a+y_0)$   és a dir   $A(1,|\sqrt{2}|-1)$
$A'(x_0,-a+y_0)$   és a dir   $A'(1,-|\sqrt{2}|-1)$
$B(b+x_0,y_0)$   és a dir   $B(2,-1)$
$B'(-b+x_0,y_0)$   és a dir   $B(0,-1)$

focus de l'el·lipse [recordem que $c=1$] F i F' (es troben - en aquest problema - damunt de l'eix Oy, per la raó explicada al paràgraf anterior):
$F(x_0,c+y_0)$ és a dir $F(1,0)$
$F'(x_0,-c+y_0)$ és a dir $F(1,-2)$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios sobre cónicas ... ( texto en catalán )

[nota del autor]

Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu l'equació de la circumferència que passa pels punts
    P(-1,0), Q(0,2) i R(1,-1)

Resolució:
Anomenant $r$ al radi de la circumferència, i $x$ i $y$ a les coordenades del centre $C$ de la circuferència, es complirà que la distància euclidiana entre el centre de la circumferència i cada un d'aquest punts ha de ser igual al valor del radi $r$; per tant, d'acord amb el teorema de Pitàgores s'haurà de complir

    $\left.\begin{matrix}\big(x-(-1)\big)^2+(y-0)^2=r^2\\(x-0)^2+(y-2)^2=r^2\\(x-1)^2+\big(y-(-1)\big)^2=r^2\end{matrix}\right\}$

Resolem el sistema. Tenint en compte que els segons membres de totes tres equacions són igual a $r^2$, igualarem la primera amb la segona i la segona amb tercera

    $\left.\begin{matrix}x^2+y^2+2\,x+1=x^2+y^2-4\,y+4\\x^2+y^2-4\,y+4=x^2+y^2-2\,x+2\,y+1 \end{matrix}\right\}$

Simplificant

    $\left.\begin{matrix}2\,x+4\,y=3\\2\,x-6\,y=-2 \end{matrix}\right\}$

sistema que té com a solució
    $x=y=\dfrac{1}{2}$

El centre de la circumferència és, per tant, el punt
    $C\Big(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)$

A continuació, calcularem el valor del radi $r$; per això, tan sols cal substituir els valors que hem trobat de $x$ i $y$ en una qualsevol de les tres equacions (per exemple, a la segona)

    $\big(\dfrac{1}{2}-0\big)^2+\big(\dfrac{1}{2}-2\big)^2=r^2$

i, d'aquí

    $r=\sqrt{\dfrac{5}{5}}$

Per tant, la circumferència del problema ve descrita per la següent equació

    $\text{C:}\,\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)^2+\Big(y-\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{5}{2}$

$\square$

[nota del autor]

Clasificar la siguiente curva cónica. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica
    $3\,x^2+2\,y^2-24=0$
Determineu tots els seus elements i calculeu el valor de l'excentricitat. Representeu-la gràficament.

Resolució:
Podem escriure l'expressió de la forma
    $\dfrac{x^2}{\frac{1}{3}}+\dfrac{y^2}{\frac{1}{2}}=24$
I dividint ambdós membres per $24$ trobem l'expressió d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades
    $\dfrac{x^2}{\frac{24}{3}}+\dfrac{y^2}{\frac{24}{2}}=1$
que es pot posar de la forma
    $\dfrac{x^2}{\big(\sqrt{8}\big)^2}+\dfrac{y^2}{\big(\sqrt{12}\big)^2}=1 \quad \quad (1)$

D'acord amb l'expressió genèrica d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades
$\dfrac{x^2}{\square^2}+\dfrac{y^2}{\square^2}=1 \quad \quad (2)$
[ on els símbols quadrats dels denominadors indiquen els valors dels semieixos $a$ - lletra amb què, per conveni, es designa al semieix major - i $b$ - designació del semieix menor ]
i, a partir de la comparació de l'expressió concreta (1) amb aquesta expressió genèrica (2), podem veure que el semieix major $a$ es troba damunt de l'eix d'ordenades i el seu valor és igual a
$a=\sqrt{12}$
i, per altra banda, el valor del semieix menor $b$ és igual a
$b=\sqrt{8}$
i es situa, en aquest cas, damunt de l'eix d'abscisses.

Per tant, els focus de l'el·lipse es situen damunt de l'eix $Oy$
i, atès que aquesta el·lipse és centrada a l'origen de coordenades, les seves coordenades són $F(0,c)$ i $F^{'}(0,-c)$
Tenint en compte que
$a^2=12$ i $b^2=8$, calculem el valor del paràmetre $c$ (vegeu la figura)
$c=\sqrt{a^2-b^2}=2$

Calculem el valor de l'excentricitat:
$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{12}}\approx 0,5774$

Coordenades dels vèrtexs:
$(0,\sqrt{12})$
$(0,-\sqrt{12})$
$(\sqrt{8},0)$
$(-\sqrt{8},0)$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de clasificación de cónicas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Classifiqueu les següents corbes còniques (seccions còniques) a partir de l'equació quadràtica general

                        $\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0$

a)   $y^2+3x+5y-8=0$
b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
c)   $y^2 + x - y -4 =0$
d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$

Solució:
Recordem el criteri de classificació (estudiat i justificat a classe)
    A partir del valor
        $\delta = b^2-4\,ac$
    tenim les següents possibilitats:
        Si $\delta$ < $0 \, \rightarrow$ el·lipse
        Si $\delta \succ 0$ $\, \rightarrow$ hipèrbola
        Si $\delta$ = 0 $\, \rightarrow$ paràbola

[No hem posat aquí els casos particulars de degeneració, que porten a rectes paral·leles, secants, coincidents, o fins i tot a rectes imaginàries, punts, etcètera]

Recordem, per altra banda, que si $b \ne 0$, els eixos de la cònica (o la recta de simetria, si es tracta d'una paràbola) no són paral·lels als eixos cartesians.

Llavors,
a)   $y^2+3x+5y-8=0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola ( amb la recta de simetria paral·la a l'eix - d'abcsisses, en aquest cas - atès que $b = 0$ )

b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
      $b=0$, $a=2$, $c=4$, d'on $\delta=-32 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos paral·lels als eixos de coordenades atès que $b = 0$ )

c)   $y^2 + x - y -4 =0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola
(amb la recta de simetria paral·lela a un dels dos eixos de coordenades atès que $b = 0$ )

d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
      $b=1$, $a=1$, $c=1$, d'on $\delta=-4 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )

e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
      $b=0$, $a=1$, $c=-1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ hipèrbola (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )

f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$
      $b=0$, $a=c=1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ el·lipse, i donat que $a=c$ és, com a cas particular, una circumferència (excentricitat nul·la).
$\blacksquare$

[nota del autor]

Ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas

[nota del autor]