Enunciat:
Una variable aleatòria $X$ és $B(9 \; , \; 0,25)$. Calculeu:
a) el valor de $\mu$ ( esperança matemàtica de $X$ )
b) el valor de $\sigma$ ( desviació de $X$ )
c) $f(7)$
d) $P(X \le 8)$
e) $F(5)$
f) $P(X=4)$
g) $P(3 < X \le 6)$
Resolució:
a)
$\mu=n\,p$
$=9\cdot 0,25$
$=2,25$
$\square$
b)
$\sigma=\sqrt{n\,p\,q}$
$=\sqrt{9\cdot 0,25 \cdot 0,75}$
$\approx 1,2990$
$\square$
c)
$f(7)=P(X=7)$
$=\binom{9}{7}\,0,25^{7}\cdot 0,75^{9-7}$
$\approx 0,0012$
$\square$
d)
$\displaystyle P(X \le 8)=\sum_{i=0}^{8}\,P(X=i)$
$=\sum_{i=0}^{8}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
$\approx 0,9999962$
$\approx 1$
$\square$
e)
$\displaystyle F(5)=P(X \le 5)=\sum_{i=0}^{5}\,P(X=i)$
$=\sum_{i=0}^{5}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
$\approx 0,9900$
$\square$
f)
$\displaystyle P(X=4)=\binom{9}{4}\,0,25^{4}\cdot 0,75^{9-4}$
$\approx 0,1168$
$\approx 1$
$\square$
g)
$\displaystyle P(3 < X \le 6)=P(X \le 6)-P(X < 3)$
$=P(X \le 6)-P(X \le 2)$
$=\sum_{i=0}^{6}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}-\sum_{i=0}^{2}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
$\approx 0,3980$
$\square$
