Ejercicios con números complejos ...

4. Calculeu     $\sqrt{-i}$

Atès que l'índex del radical és igual a $2$, sabem d'antuvi que hem de trobar dos nombres complexos com a solució, de la forma $s=x+y\,i$

$\sqrt{-i}=x+y\,i$

elevant al quadrat en cada membre per poder desfer l'arrel quadrada del primer membre

$-i=(x+y\,i)^2$

i, desenvolupant el binomi al quadrat, trobem

$-i=x^2-y^2 + 2xy\,i$

Igualtant les parts reals i les parts imaginàries d'un i altre membres

$\left.\begin{matrix} x^2-y^2 = 0\\ \\ 2xy = -1\\ \end{matrix}\right\}$

Resolent aquest sistema d'equacions (per substitució) arribem a una equació polinòmica de grau quatre en $x$

$4x^4-1=0$

que, com és fàcil veure, té aquests quatre valors com a solució

$x_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$x_2=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$x_3=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$

$x_4=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$

d'entre els quals, tan sols tenen sentit, els dos primers, atès que representen la part real de les solucions que estem cercant

Llavors, substituint l'un i l'altre a la segona equació, arribem als valors de $y$ que tenen emparellats (després de racionalitzar i simplificar les expressions amb radicals que apareixen, càlculs addicionals senzills que no mostrarem aquí):

$y_1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$y_2=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

A partir d'aquest resultats per a la part real i dels corresponents per a la part imaginària de les solucions de $\sqrt{-i}$, concloem que les solucions són:

$s_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$

i

$s_2=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,i$

$\square$

5. Calculeu el mòdul i l'angle polar del nombre complex:     $z=-1-2\,i$

Calculem el mòdul $r_z$:

$r_z=\left| \sqrt{z \cdot \overline{z}} \right|$

com que $\overline{z}=-1+2\,i$

$z \cdot \overline{z} = (-1-2\,i)\cdot(1+2\,i) = \ldots = 5$

per tant

$r_z=\left|\sqrt{5}\right|$

Calculem l'angle polar $\theta$:

És important que, primer de tot, representem el nombre polar en el pla complex, ja que cal ubicar-ne l'afix en el quadrant que correspongui d'acord amb els valor de la part real, $-1$ i de la part imaginària $-2$

Observem que

$180º \prec \theta \prec 270º$

L'angle pintat de color vermell a la figura és el que obtenim directament de la calculadora

$\arctan{\Big(\dfrac{Im(z)}{Re(z)}\Big)}=\arctan{2} \approx 63º \, 26'$

i, tenint en compte que

$\tan{(\theta)} = \tan{(\theta +180º)}$

entenem que l'angle que és solució de l'exercici (l'angle del 3r quadrant, pintat de color verd a la figura) és igual a

$63º \, 26' + 180º$

és a dir

$\theta \approx 243º \, 26'$

6. Determineu la part real la part imaginària de     $(2+3\,i)^4$

Desenvolupant la potència del binomi per la fórmula del binomi de Newton ens queda

$1\cdot 2^4 \cdot (3\,i)^0 + 4\cdot 2^3 \cdot (3\,i)^1$ $+ 6\cdot 2^2 \cdot (3\,i)^2+4\cdot 2^1 \cdot (3\,i)^3+$
$+1\cdot 2^0 \cdot (3\,i)^4$

on els coeficients que apareixen multiplicant davant de cada terme
$\{1,4,6,4,1\}$
són els nombres de la cinquena fila del triangle de Pascal (els nombres combinatoris de la fórmula del binomi de Newton)

Simplificant obtenim

$(2+3\,i)^4=\ldots=-119-120\,i$

$\square$

7. Considereu el nombre complex $z$, amb mòdul $r_z$ igual a $2$ i angle polar $\theta$ igual a $\pi/6$. Caculeu el seu complex conjugat $\overline{z}$, expressant-lo en forma cartesiana.

La forma trigonomètrica del nombre complex donat és

$z=2 \cdot \cos{ \big( \dfrac{\pi}{6} \big)} +2 \cdot \sin{ \big(\dfrac{\pi}{6}\big) } \, i $

tenint en compte que

$\sin{\big(\dfrac{\pi}{6}\big)}=\dfrac{1}{2}$

i

$\cos{\big(\dfrac{\pi}{6}\big)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

simplifiquem i ens queda

$z=\sqrt{3}+i$

llavors, el complex conjugat serà

$z=\sqrt{3}-i$

$\square$

8. Demostreu que, donat un nombre complex $z=a+b\,i$ ( $a \,,\, \in \mathbb{R}$ ), llavors es compleix que

$z \cdot \overline{z} = \overline{z} \cdot z = r^{2}_{z} $

on $\overline{z}$ és el complex conjugat de $z$, i $r_z$ representa el mòdul de $z$ (que és igual, també, al de $\overline{z}$)

$z \cdot \overline{z} = \overline{z} \cdot z$

atès que, per la propietat commutativa de la multiplicació de nombres reals

$(a+b\,i)\cdot (a-b\,i)$

és igual a

$(a-b\,i)\cdot (a+b\,i)$

(de fet, ja sabem - és ben senzill demostrar-ho - que la propietat commutativa per al producte de dos nombres complexos qualssevol també és vàlida)

i, desenvolupant qualsevol de les dues expressions anteriors, fent ús de la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma, trobem que és igual a

$a^2+b^2$

expressió que, evidentment, representa el quadrat del mòdul de $z$ (i també el de $\overline{z}$)

en efecte

$a^2+b^2=\big(\sqrt{a^2+b^2}\,\big)^2=r^{2}_{z}$

tal i com volíem demostrar.

$\square$

[nota del autor]

Operaciones con números complejos. Ejercicios ...

1. Calculeu l'arrel quadrada de
$-\dfrac{9}{16}$

$\sqrt{\big(-\dfrac{9}{16}\big)}=\sqrt{\big(\dfrac{9}{16} \cdot (-1) \big)}=\sqrt{\big(\dfrac{9}{16}\big)} \cdot \sqrt{-1} = \pm \dfrac{3}{4} \cdot i$
$\square$

2. Donat el nombre $z=-3+\dfrac{5}{9}\,i$, indiqueu el valor de la seves parts, real i imaginària.

$Re(z)=-3$

$Im(z)=\dfrac{5}{9}$

$\square$

3. Calculeu el valor de $m$ per tal que
$z=2m-3+\big(\dfrac{2}{5}+m \big) \, i$
sigui un nombre real.

Perquè sigui un nombre real, la seva part imaginària ha de ser igual a $0$

Com que

$Im(z)=\dfrac{2}{5}+m$

imposant al condició, s'obté

$\dfrac{2}{5}+m=0$

I d'aquí

$m=-\dfrac{2}{5}$

$\square$

4. Calculeu els valors de $x$ i $y$ per tal que
es compleixi la igualtat     $7x+(2-y)\, i = (2x-5)-4y\,i$

Igualant les parts reals de tots dos membres
$7x=2x-5$
i resolent aquesta equació, trobem
$x=-1$

Igualant les parts imaginàries de tots dos membres
$2-y=-4y$
per tant
$y=-\dfrac{2}{3}$
$\square$

5. Escriviu l'oposat del nombre complex
$\sqrt{5}-3\, i$

Per trobar l'oposat d'un nombre complex $z=a+i\,b$, canviem el signe de la
part real i també el de la part imaginària.

Llavors,

$(\text{Op}\big(\sqrt{5}-3\, i \big) = -\sqrt{5}+3\, i$

$\square$

6. Escriviu el conjugat del nombre complex
$\sqrt{5}-3\, i$

Per trobar el nombre complex conjugat $\overline{z}$ d'un nombre $z=a+i\,b$, canviem el signe de la de la part imaginària: $\overline{z}=a-i\,b$.

Així, doncs, en el cas concret de l'enunciat fem

$\overline{z} = \sqrt{5}+3\, i$

$\square$

7. Considereu els nombres complexos:
$z_1=-2+i$
$z_1=-3-5i$
Calculeu:
a) $z_1+z_2$
b) $z_1-z_2$
c) el mòdul $r_{z_1}$ de $z_1$
d) el mòdul $r_{z_2}$ de $z_2$
e) el mòdul $r_{z_1+z_2}$ de $z_1+z_2$
f) el mòdul $r_{z_1-z_2}$ de $z_1-z_2$
g) l'angle polar $\theta_{z_1}$ de $z_1$
h) l'angle polar $\theta_{z_2}$ de $z_2$
i) l'angle polar $\theta_{z_1+z_2}$ de $z_1+z_2$
j) l'angle polar $\theta_{z_1-z_2}$ de $z_1-z_2$
k) el nombre complex que resulta del producte $z_{1} \cdot z_{2}$
l) el nombre complex que resulta del quocient
        $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$
m) $\big(z_1\big)^5$
n) $\sqrt{z_1}$

a) $z_1+z_2=-5-4\,i$

b) $z_1-z_2=1+6\,i$

c) $r_{z_1}=\left|\sqrt{\overline{z_{1}}\cdot z_{1}}\right|=\ldots=|\sqrt{5}|$

d) $r_{z_2}=\left|\sqrt{\overline{z_{2}}\cdot z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{34}|$

e) $r_{z_1+z_2}=\left|\sqrt{\overline{(z_{1}+z_{2})}\cdot (z_{1}+z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{41}|$

f) $r_{z_1-z_2}=\left|\sqrt{\overline{(z_{1}-z_{2})}\cdot (z_{1}-z_{2}}\right|=\ldots=|\sqrt{37}|$

g) Com que
$Re(z_1)=-2$
$Im(z_1)=1$
l'afix de $z_1$ es troba al 2n quadrant, per tant $\theta_{z_1} = 180º - \arctan{\Big(\dfrac{1}{-2}\Big)} \approx 153º\,23'\,6''$

h)
$Re(z_1)=-3$
$Im(z_1)=-5$
llavors, trobem l'afix de $z_2$ al 3r quadrant, per tant $\theta_{z_2} = 180º + \arctan{\Big(\dfrac{-5}{-3}\Big)} \approx 239º\,2'\,11''$

i)
$Re(z_1+z_2)=-5$
$Im(z_1+z_2)=-4$
llavors, l'afix de $z_1+z_2$ es situa també en el 3r quadrant, per tant $\theta_{z_1+z_2} = 180º + \arctan{\Big(\dfrac{-4}{-5}\Big)} \approx 218º\,39'\,35''$

j)
$Re(z_1-z_2)=1$
$Im(z_1-z_2)=6$
llavors, l'afix de $z_1-z_2$ es troba en el 1r quadrant, per tant $\theta_{z_1-z_2} = \arctan{6} \approx 80º\,32'\,16''$

k) $z_{1} \cdot z_{2} = (-2+i)\cdot (-3-5\,i) =\ldots = 11+7\,i$

l)
$\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{-2+i}{-3-5\,i} = \dfrac{-2+i}{-3-5\,i} \cdot \dfrac{-3+5\,i}{-3+5\,i} = \ldots = \dfrac{1}{34}-\dfrac{13}{34}\,i$

m)
$\big(z_1\big)^5=(-2+i)^5$

desenvolupant per la fórmula del binomi de Newton, trobem:

$(-2+i)^5=\ldots=38+41\,i$

n)
Per calcular l'arrel quadrada de $z_1$
$\sqrt{(-2+i)}$ partim del fet que hi han dues solucions (teorema) i que han de ser
nombres complexos $x+i\,y$

Elevem al quadrat tots dos membres de la igualtat
$\sqrt{(-2+i)}=x+i\,y$
i obtenim el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} x^2-y^2 = -2\\ \\ 2xy = 1\\ \end{matrix}\right\}$

Resolent el sistema d'equacions trobem el següent parell de valors com a resultat de
l'arrel quadrada de $z_1=-2+i$

$r_1=\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|-2}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|+2}{2}}\right|\,i$

i

$r_2=-\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|-2}{2}}\right|-\left|\sqrt{\dfrac{|\sqrt{5}|+2}{2}}\right|\,i$

$\square$

8. Donat el nombre $z=1+i$, calculeu el seu invers.

$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1}{1+i} \cdot \dfrac{1-i}{1-i} = \ldots = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \,i$
$\square$

9. Resoleu l'equació     $x^2+x+2=0$

Fent ús de la fórmula per trobar les arrels d'una equació polinòmica de 2n grau, trobem
$x=\dfrac{-1 \pm \left|\sqrt{1-8}\right|}{2} \in \mathbb{C}$

d'on surten dues arrels complexes:

$r_1=\dfrac{-1+\sqrt{7}\,i}{2}$

i

$r_2=\dfrac{-1-\sqrt{7}\,i}{2}$

$\square$

10. Resoleu l'equació     $x^4+x^2+1=0$

Fent el canvi $x^2=t$, l'equació biquadrada es transforma en una equació polinòmica de 2n grau

$t^2+t+1=0$

que té com a solucions (complexes):

$t_1=\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}$

i

$t_2=\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$

Ara, però, cal desfer el canvi de variable: $x=\sqrt{t}$

De $t_1$ trobem dos valor per a la variable $x$: $x_1$ i $x_2$; i de $t_2$, dos més: $x_3$ i $x_4$

Calculem les dues primers a partir de l'arrel quadrada:

$\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$

i que és igual a dos nombres complexos del tipus $u+v \,i$; per això, cal plantejar el sistema d'equacions corresponent

que surt d'elevar al quadrat ambdós membres de la igualtat

$\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}=u+v\,i$

és a dir

$\left.\begin{matrix} u^2-v^2 = -\dfrac{1}{2}\\ \\ 2uv = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right\}$

I, les altre dues, s'obtenen a partir de l'arrel quadrada de

$\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$

el resultats de la qual són els nombres complexos del tipus $s+t\,i$

per tant

$\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}=s+t\,i$

elevant al quadrat cada un dels dos membres i igualant parts reals i parts imaginàries plantegem el sistema d'equacions corresponent

$\left.\begin{matrix} s^2-t^2 = -\dfrac{1}{2}\\ \\ 2st = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right\}$


En resoldre tots dos sistemes d'equacions, obtenint dos valors de $u$ i dos de $v$, i el mateix per a $s$ i $t$

i, a partir d'aquests, podem escriure les quatre solucions de l'equació de quart grau $x^4+x^2+1=0$

$x_1=\sqrt{\dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$

$x_2=-\sqrt{ \dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}}$

$x_3=\sqrt{ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$

$x_3=-\sqrt{ \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}}$

$\square$

11. Resoleu l'equació
$2^{x^4+x^2}=1$

Com que $1$ es pot posar com una potència de base $2$: $1=2^0$, podem
escriure l'equació de la forma

$2^{x^4+x^2}=2^0$

els exponents d'ambdós membres han de ser iguals, atesa la igualtat de les bases de les potències

$x^4+x^2=0$

Traient $x^2$ com a factor comú, la podem escriure de la forma

$x^2\, (x^2+1)=0$

de la qual deduïm que:

a) si s'anul·la el primer factor
obtenim $0$ com primera arrel (amb multiplicitat igual a $2$) i, doncs, tenim dues de les quatre solucions $x_1=0$ i $x_2=0$

b) si s'anul·la el segon factor, surten dues arrels més
$x_3=i$
i
$x_4=-i$

$\square$

12. Calculeu $i^{29018745}$

$i^{29018745} = i^{\text{mod}(29018745,4)}=i^1 = i$
$\square$

[nota del autor]

Operaciones con números complejos

[nota del autor]