Un problema de ecología de campo ...

ENUNCIADO:
En un espacio natural se desea estimar el número de individuos $N$ de una cierta especie; para ello, se procede en dos etapas:
1.º) Se realiza la captura de n $n$ individuos ( $ n \le N $); se marcan y se dejan en libertad.
2.º) A continuación, volvemos a realizar otro conjunto de capturas, seleccionando al azar $m$ individuos ($m \le n$), y, contabilizamos cuántos de los mismos están marcados; pongamos que esta vez encontramos $r \le m$ individuos marcados ( individuos que ya habían sido capturados la primera vez).
A partir de todo esto, debemos encontrar una cota superior de $N$.

SOLUCIÓN:
Pensemos en el problema análogo de extraer al azar y sin reemplazamiento $n$ bolas de una urna que contiene $N$ bolas en total, de las cuales $m$ son negras y, por tanto, $N-m$ son blancas, con la consiguiente pregunta: ... al extraer n bolas en esas condiciones, cuál és la probabilidad de que entre ellas haya $r$ bolas negras ?, entendiendo por `bola negra´ un individuo con marca y por `bola blanca´ un individuo sin marca.

Sea la variable aleatoria $X$ que representa el conjunto de valores posibles correspondientes al número de bolas negras ( número de individuos con marca ) contabilizadas entre las $n$ bolas ( número de individuos capturados en la primera fase del proceso ). Así, el valor de $X$ está en el conjunto $\{0,1,2,...,m\}$. El modelo matemático de dicha variable corresponde sin duda a una distribución hipergeométrica. Y la probabilidad pedida es la función de cuantía

$$P\{X=r\}=\dfrac{\binom{m}{r}\, \binom{N-m}{n-r}}{\binom{N}{n}} \quad \quad [1]$$


Dicha probabilidad será mayor cuanto mayor sea el número de bolas de la urna y ello nos sirve para encontrar una cota superior de esta cantidad; en efecto, si $P_{N}\{X=r\} \ge P_{N-1}\{X=i\}$, se deduce, tras unos cuántos pasos de álgebra ( a partir de [1] ) la siguiente desigualdad: $N \le \dfrac{m\cdot n}{r} \quad \quad [2]$

Utilizando la analogía, consideremos, por ejemplo, que el número de individuos capturados en la primera etapa y marcados ( para volver a soltarlos ) es igual $200$ ($n=200$); y, que en el segundo conjunto de capturas, al capturar, por un poner, $50$ individuos ($m=50$), encontramos que $30$ de estos están marcados ($r=30$). Haciendo uso del resultado [2], encontramos una cota superior del número de individuos que constituyen la población:
$N \le 50 \cdot 200/30$, es decir $N \le 333$ individuos
$\square$

Una variable aleatoria binomial ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una variable aleatòria $X$ és $B(9 \; , \; 0,25)$. Calculeu:
    a) el valor de $\mu$ ( esperança matemàtica de $X$ )
    b) el valor de $\sigma$ ( desviació de $X$ )
    c) $f(7)$
    d) $P(X \le 8)$
    e) $F(5)$
    f) $P(X=4)$
    g) $P(3 < X \le 6)$

Resolució:
a)
$\mu=n\,p$
    $=9\cdot 0,25$
    $=2,25$
$\square$

b)
$\sigma=\sqrt{n\,p\,q}$
    $=\sqrt{9\cdot 0,25 \cdot 0,75}$
    $\approx 1,2990$
$\square$

c)
$f(7)=P(X=7)$
    $=\binom{9}{7}\,0,25^{7}\cdot 0,75^{9-7}$
    $\approx 0,0012$
$\square$

d)
$\displaystyle P(X \le 8)=\sum_{i=0}^{8}\,P(X=i)$
    $=\sum_{i=0}^{8}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,9999962$
    $\approx 1$
$\square$

e)
$\displaystyle F(5)=P(X \le 5)=\sum_{i=0}^{5}\,P(X=i)$
    $=\sum_{i=0}^{5}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,9900$
$\square$

f)
$\displaystyle P(X=4)=\binom{9}{4}\,0,25^{4}\cdot 0,75^{9-4}$
    $\approx 0,1168$
    $\approx 1$
$\square$

g)
$\displaystyle P(3 < X \le 6)=P(X \le 6)-P(X < 3)$     $=P(X \le 6)-P(X \le 2)$

    $=\sum_{i=0}^{6}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}-\sum_{i=0}^{2}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,3980$
$\square$

[nota del autor]

Una urna contiene veinte bolas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una urna hi ha vint boles, de les quals vuit són blanques i la resta són negres. Extraiem a l'atzar quinze boles, successivament i amb reemplaçament. Quant val la probabilitat que, d'aquestes quinze boles que hem tret, almenys vuit siguin blanques ?

Resolució:
Els possibles valors de la variable aleatòria $X$ (nombre de boles blanques que han aparegut en les quinze realitzacions ) són $\{0,1,2,3,\ldots,15\}$. La prªobabilitat $p$ que en una extracció surti una bola blanca (probabilitat d'èxit) és igual a $8/20$, és a dir, $\frac{2}{5}$; i la probabilitat de fracàs (que surti una bola negra) és, per tant, igual a $\frac{3}{5}$

Es tracta, doncs, d'un problema de variable aleatòria discreta $X$ que segueix el model binomial $B(n, p)$, amb $n=15$ i $p=2/5$ ( probabilitat d'èxit )

La probabilitat demanada (que almenys hi hagi vuit boles blanques entre les quinze boles que hem tret) es pot expressar de la forma
$\displaystyle \sum_{i=8}^{15}\,P(X=i)$
que és el mateix que
$P(X \ge 8)$
i que ha de ser igual a
$1-P(X \le 7)$

A continuació, calcularem el valor d'aquesta expressió i, per això, és molt convenient que fem servir l'aproximació del model binomial pel model normal (de Gauss), atès que d'aquesta manera, els càlculs (amb les taules de la funció de distribució d'aquest model) seran ràpids i senzills.

Primer de tot, però, cal comprovar que es compleixen les condicions per tal que puguem fer aquesta aproximació:
és a dir, que $p$ ( i $q$ ) no siguin ni massa propers a zero ni a u; i, per altra banda, cal que $n\,p > 5$.

Trobem que sí, efectivament, podem fer servir l'aproximació
$X \sim B(n,p)$ per $X^{'} \sim N(n\,p \; , \; \sqrt{n\,p\,q})$
atès que $p = 0,4$ i $n \, p = 15 \cdot 0,4 = 6 > 5$

Calculem, doncs, $P(X \le 7)$
$P(X \le 7) \approx P(X^{'} \le 7+0,5 $     (correcció de Yates)
i fent el canvi
$Z=\dfrac{X^{'}-\mu}{\sigma}$
            on
            $\mu=n \,p = 6$
            i
            $\sigma=\sqrt{n\,\,p\,q} \approx 1,8974$
passem a treballar, de forma equivalent, amb una v.a. $Z \sim N(0,1)$ i, per tant, podrem fer servir les taules de la funció de distribució $F(z)$

Calculem el valor de la fita per a $Z$:
Si $x^{'}=7,5$ trobem que
$z=\dfrac{7,5-6}{1,8974}\approx 0,7906$

Llavors, consultant les taules trobem
$F(0,79)=0,7852$
$F(0,80)=0,7881$
d'on, per interpolació lineal, obtenim
$F(0,7906)=\ldots=0,7854$

És a dir
$P(X^{'}\le 7,5)=P(Z \le 0,7906) \approx 0,7854$
i, per tant, finalment, recodem que
$P(X \ge 8) \approx 1-P(X^{'} \le 7,5)$
que és igual a $0,2146$

$\square$

[nota del autor]

La distribución de probabilidad hipergeométrica ... ( Artículo escrito en catalán )

El model de variable aleatòria hipergeomètrica és un model de v.a. discreta que dóna la solució al següent problema.

Considerem el problema d'extreure $n$ boles sense reemplaçament d'una urna on hi ha $N$ boles de colors, $m$ de les quals són blanques ( $ N \ge m $ ). Quant val la probabilitat que hi hagi
$k$ boles blanques ( $k \le n$ ) entre les $n$ boles que hem tret de la urna ?

D'acord el tipus de problema (combinacions ordinàries), al principi multiplicatiu, i al principi de Laplace (per assignar probabilitats probabilitats a successos igualment probables), entenem que la variable aleatòria $X$ (nombre de boles blanques que apareixen a l'extracció de les $n$ boles) pren valors en el conjunt $\{0,1,2,\ldots,m \}$ podem escriure

$\displaystyle P(X=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\,\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Es demostra que els paràmetres d'aquest model de v.a. són

Esperança de $X$:
$\displaystyle \mu = \dfrac{n\,m}{N}$

Variància de $X$:
$\displaystyle \sigma^2 = \dfrac{n\,m\,(N-n)\,(N-m)}{N^2\,(N-1)}$

Exemple 1

Enunciat:
En una urna hi ha deu boles de colors, entre les quals n'hi ha quatre de color blanc. Extraiem set boles a la vegada ( que és equivalent a treure-les una a una, però sense reemplaçar-les a mesura que les anem traient ). Quant val la probabilitat que entre aquestes set boles n'hi hagi tres de blanques ?

Resolució:
De l'expressió general
$\displaystyle P(X=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\,\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
tenint en compte que
$N=10$
$m=4$
$n=7$
$k=3$
calculem directament
$\displaystyle P(X=3)=\dfrac{\binom{4}{3}\,\binom{10-4}{7-3}}{\binom{10}{7}}=\ldots=\dfrac{1}{2}$
$\square$

[nota del autor]