Determineu l'equació de la recta bisectriu de l'angle que forme els segments $OB$ i $OC$. Coordenades dels punts: $O(0,0)$, $B(3,5)$ i $C(3,-4)$
Resolució:
Anomenem $r$ a la recta que passa pels punt O(0,0) i B(3,5); la seva equació en forma contínua és
$r:\,\frac{x}{3}=\frac{y}{5}$
que, expressada en forma general, queda
$r:\,5x-3y=0$
per tant, $a_r=5$ , $b_r=-3$ i $c_r=0$
Anomenem $s$ a la recta que passa pels punt O(0,0) i C(3,-4); la seva equació en forma contínua és
$s:\,\frac{x}{3}=\frac{y}{-4}$
que, expressada en forma general, queda
$s:\,4x+3y=0$
per tant, $a_s=4$ , $b_s=3$ i $c_s=0$
La recta bisectriu $rb$ de l'angle que formen les rectes $r$ i $s$ ve donada pel lloc geomètric dels punts del pla P(x,y) que compleixen la següent condició: d(P,r)=d(P,s), condició que es concreta de la forma
$\dfrac{a_{r}\,x+b_{r}\,y+c_{r}}{\left|\sqrt{a_{r}^{2}+b_{r}^{2}}\right|}=\dfrac{a_{s}\,x+b_{s}\,y+c_{s}}{\left|\sqrt{a_{s}^{2}+b_{s}^{2}}\right|}$
i, donades les dades del problema, queda
$\dfrac{5x-3y}{\left|\sqrt{34}\right|}=\dfrac{4x+3y}{\left|\sqrt{5}\right|}$
que reduïrem a comú denominador per – agrupant i ordenant termes - posar-la en forma general
$\text{rb}:\; \big(25-4\,\left|\sqrt{34}\right|\big)\,x+\big(-15-3\,\left|\sqrt{34}\right|\big)\,y=0$
o, si ho preferim, per exemple, en forma explícita
$\text{rb}:\; y= \frac{15+3\,\left|\sqrt{34}\right|} {4\,\left|\sqrt{34}\right|-25}\,x$
on queda ben clar que el pendent és igual a
$\frac{15+3\,\left|\sqrt{34}\right|}{4\,\left|\sqrt{34}\right|-25}$
i l'ordenada a l'origen és igual a zero (la recta bisectriu passa per l'origen de coordenades)
$\square$
