Otro ejemplo de clasificación y caracterización de curvas cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: y^2+3x+5y-8=0$$

Recordemos que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En nuestro caso: $a=b=0$, $c=1$ y $f=-8$, luego $\Delta = 0^2-4\cdot 0 \cdot 1 = 0$, por lo que la ecuación propuesta corresponde a una parábola.

Escribámosla ahora en forma reducida, esto es, de la forma $(y-y_V)^2=4c\,(x-x_V) \quad (1)$, donde $V(x_V,y_V)$ es el vértice de la parábola; $F(x_V+c,y_V)$ es el foco y $\text{r.d.}:$
  $y^2+3x+5y-8=0$
    $(y^2+5y)+3x-8=0$
      $(y+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2+3x-8=0$
        $(y+\frac{5}{2})^2+3x-\frac{57}{4}=0$
          $(y+\frac{5}{2})^2=-3x+\frac{57}{4}$
            $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{1}{3}\cdot\frac{57}{4})$
              $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{19}{4}) \quad (1')$
Comparando (1) con (1'), deducimos que $y_V=-\frac{5}{2}$ y $x_V=\frac{19}{4}$, luego el vértice de la parábola es el punto $V(\frac{19}{4}\,,\,-\frac{5}{2})$

Por otra parte, sabemos que en una parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas, $y^2=4c\,x \quad (2)$, $c=\text{dist}(O,F)$, luego $x_F=c$ y $\text{r.d.}:x=-c$ es la ecuación de su recta directriz.

En nuestro caso (la parábola está desplazada a lo largo del eje de abscisas con respecto a (2)), el vértice se ve afectado, por supuesto, del mismo desplazamiento, por lo que $x_F=x_V+c=\frac{10}{4}+c$ y $\text{r.d.}:x=-c+x_V$. De la comparación de (1') y (2) vemos también que $4c=-3$ y por tanto, $c=-\frac{3}{4}$, con lo cual, $x_F=\frac{19}{4}+(-\frac{3}{4})=4$, y como $y_F=-\frac{5}{2}$, el foco es el punto $F(4\,,\,-\frac{5}{2})$. Y, en cuanto a la recta directriz, tiene por ecuación: $\text{r.d.}:x=-(-\frac{3}{4})+\frac{19}{4}$, es decir, $\text{r.d.}:x=\frac{11}{2}$

Por lo que se refiere a la excentricidad -parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia- de una parábola, recordemos que es igual a $1$. Nota: Recordemos también que, para una hipérbola, la excentricidad es mayor que $1$; para una elipse es menor que $1$, y, en el caso particular de que dicha elipse sea una circunferencia, en cuyo caso los semiejes de la elipse tienen el mismo valor, ésta es igual a $0$. $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $y^2=6x$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros y elementos característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y eje de simetría coincidente con el eje de abcsisas es $y^2=4c\,x$ -Observaciones: (1) a veces, se escribe la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de la forma $y^2=2px$, donde $p=2c$; y (2), por supuesto, si el eje de simetría coincidiese con el eje de ordenadas, $x^2=2py=4cy$-. En el caso que nos ocupa es claro que el eje de simetría es el eje de abscisas, $c=\text{distancia}(O,F)$, siendo $F$ el foco de dicha parábola; así que vemos que, al ser, $6=4c$, $c=\dfrac{3}{2}$, luego las coordenadas del foco son $F(3/2,0)$. También sabemos que la recta directriz (perpendicular al eje de simetría) se encuentra al otro lado del vértice, y a la misma distancia del origen de coordenadas que la de éste al vértice, luego la ecuación de la recta directriz es $\text{rd}:x=-c=-\dfrac{3}{2}$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $(x-1)^2+(y+1)^2=3$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse con centro en otro punto $C(x_C,y_C)$ distinto del origen de coordenadas es $\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$, donde, en nuestro caso concreto, $a^2=b^2=3$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), y por tanto $a=b=\sqrt{3}$. Y, al tener el mismo valor los semiejes $a$ y $b$, deducimos que se trata de una circunferencia; su excentricidad $e:=\dfrac{c}{a}=0$ (como ha de ser en el caso de una circunferencia) ya que, para una elipse genérica $c:=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{0}{3}=0$. Teniendo en cuenta además que $x_C=1$ y $y+1=y-(-1)$, se tiene que $y_C=-1$, luego el centro de dicha circuferencia es el punto $C(1,-1)$. Veamos ahora el valor del radio de la misma. Como una circunferencia descentrada responde a la ecuación $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$, identificando el segundo miembro con el valor $3$, es claro que $R=\sqrt{3}$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=3$, y por tanto $a=\sqrt{3}$; y $b^2=2$, con lo cual $b=\sqrt{2}$. Teniendo en cuenta que $2\,c$ es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (los cuales están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $a^2=c^2+b^2$ -recordemos que, por contra, en una hipérbola dicha relación es $c^2=a^2+b^2$-, vemos que $c^2=a^2-b^2=3-2=1$, luego $c=\sqrt{1}=1$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(1,0)$ y $F'(-1,0)$. Por otra parte, la excentricidad de una cónica se define como $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5774$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mmenor que $1$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{36}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad; y, de haber rectas asíntotas para dicha cónica, queremos también encontrar sus ecuaciones, el ángulo que forman con el eje de abcisas y el ángulo que forman entre ellas.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una hipérbola centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una hipérbola centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=25$, y por tanto $a=\sqrt{25}=5$; y $b^2=36$, con lo cual $b=\sqrt{36}=6$. Teniendo en cuenta que $2\,c$, es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (que están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $c^2=a^2+b^2$, vemos que $c^2=25+36=61$, luego $c=\sqrt{61}$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(\sqrt{61},0)$ y $F'(-\sqrt{61},0)$. Por otra parte, la excentricidad de la cónica es $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{61}}{5}\approx 1,5621$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mayor que $1$. Tratándose de una hipérbola, ésta tiene dos asíntotas, y al ser una h. centrada éstas pasan por el origen de coordenadas, las ecuaciones de dichas asíntotas son $a_1:y=:\tan(\theta_1)\,x=\dfrac{b}{a}\,x=\dfrac{6}{5}\,x$, y $a_2:y:=\tan{\theta_2}\,x=\dfrac{b}{-a}\,x=-\dfrac{6}{5}\,x$. El ángulo que forma $a_1$ con el eje de abscisas es $\theta_1=\text{arctan}(6/5)\approx 50^\circ\,11'$, el que forma $a_2$ con el eje de abscisas es por tanto $\theta_2=180^\circ-\theta_1\approx 129^\circ\,49'$, y el ángulo que forman las dos asíntotas entre sí es por consiguiente $180^\circ - 2\cdot 50^\circ\,11' = 79^\circ\, 38'$   $\diamond$

Una ejercicio con curvas cónicas. Intersección de curvas cónicas: representación gráfica y resolución de un sistema de ecuaciones cuadráticas con GNU MAXIMA

Nos proponemos calcular las coordenadas de los puntos de intersección de la circumferencia $C:x^2+y^2=3^2$ (de radio igual $3$ y centrada en el origen de coordenadas) y la elipse $E:\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1$ (centrada también en el origen de coordenadas, con semiejes $a=4$ y $b=2$). Para ello, debemos resolver el sistema de cuaciones cuadráticas $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=3^2 \\ \dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{2^2}=1\end{matrix}\right.$

Primero, visualicemos las gráficas de dichas cónicas:

   (%i31)	wxplot2d([x^2+y^2=9,x^2/16+y^2/4=1],[x,-10,10],[y,-10,10]);
  

A la vista de las mismas, vemos que se intersecan en $4$ puntos del plano

A continuación, vamos a calcular las coordenadas exactas de los puntos de intersección:

(%i9)	c:x^2+y^2=3^2$ /* ecuación de la circumferemcia */
	
(%i10)	e:x^2/4^2+y^2/2^2=1$ /* ecuación de la elipse */

/* instrucción de resolución del sistema de ecuaciones 
formado por las dos ecuaciones anteriores y respuesta 
de MAXIMA */  
(%i11)	solve([c,e],[x,y]); 
(%o11)	[[x=-(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=-sqrt(7)/sqrt(3)],
          [x=-(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=sqrt(7)/sqrt(3)],
            [x=(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=-sqrt(7)/sqrt(3)],
              [x=(2*sqrt(5))/sqrt(3),y=sqrt(7)/sqrt(3)]]
  
  

Así, pues, vemos que las coodenadas $(x,y)$ de los $4$ puntos de intersección son: $\left\{ \left( 2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right), \left( 2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right),\left( -2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right), \left( -2\,\sqrt{\dfrac{5}{3}},-\sqrt{\dfrac{7}{3}}\right) \right\}$. $\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Clasificación de dos curvas cónicas y estudio de la incidencia entre ellas

ENUNCIADO. Se consideran las curvas cónicas $\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$ y $\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$. Dígase a qué tipo de cónicas corresponde cada una de ellas y estúdiese la incidencia de dichas curvas.

SOLUCIÓN.
$\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$
  $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0$
    $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2$, luego esta curva es una circunferencia de centro $(2,0)$ y radio $r=4$

$\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$
  $\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0$
    $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0$
      $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16$
        $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1$
          $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1$, tratándose pues de una elipse de centro $(2,0)$; semiejes $a=4$ y $b=3$

Los vértices de la elipse son $A_{2}(4+2,0)$, $A'_{2}(-4+2,0)$; $B_{2}(0,3)$ y $B'_{2}(0,-3)$. Y los de la circunferencia $A_{1}(4+2,0)$, $A'_{1}(-4+2,0)$; $B_{1}(0,4)$ y $B'_{1}(0,-4)$. Por consiguiente la elipse $\mathcal{C}_2$ es tangente interior a la circunferencia $\mathcal{C}_1$ en $A_{1}=A_{2}$ y en $A'_{1}=A'_{2}$
$\square$

Cónicas. Ecuación de una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad dada, semieje mayor dado y centro dado.

ENUNCIADO. Hállese la ecuación de una elipse con los ejes paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad $\epsilon=0,6$, con semieje mayor $a=15$, y centrada en $C(2,-1)$. Determínense los elementos notables de la misma.

SOLUCIÓN. La ecuación de la elipse en las condiciones del enunciado toma la forma $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{b^2}=1$$ Como $\epsilon = \dfrac{c}{a}$ ( donde $c$ es la semidistancia entre los focos ) tenemos que $$0,6 = \dfrac{c}{15} \Rightarrow c=9$$ por otra parte sabemos que en una elipse ha de cumplirse que $a^2=b^2+c^2$ con lo cual $$b^2=15^2-9^2=144 \Rightarrow b=12$$ Por consiguiente, la ecuación pedida es $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{12^2}=1$$ Así pues, teniendo en cuenta la traslación de la elipse reducida $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ ( centrada en el origen de coordenadas ) al punto $C(2,-1)$, las coordenadas de los dos focos son $F(9+2,0+(-1))$ y $F'(-9+2,0+(-1))$, respectivamente; esto es
$$F(11,-1) \quad \text{y}\quad F'(-7,-1)$$ Por lo que respecta a los vértices, si la elipse centrada en el origen de coordenadas $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ tiene por vértices $A(15,0)$, $A'(-15,0)$: $B(0,12)$ y $B'(0,-12)$, atendiendo a la traslación de dicha elipse al punto $C(2,-1)$, los vértices de la elipse pedida son $A(15+2,0+(-1))$, $A'(-15+2,0+(-1))$, $B(0+2,12+(-1))$ y $B'(0+2,-12+(-1))$; esto es $$A(17,-1), A'(-13,-1), B(2,11) \; \text{y}\, B'(2,-13)$$
$\square$

Parábola no centrada en el origen de coordenadas y con recta de simetría paralela a uno de los ejes de coordenadas

ENUNCIADO. Escríbase las posibles ecuaciones de una parábola cuyo vértice se sitúa en el punto $V(1,0)$ y que pasa por el punto $P(3,3)$ así como las coordenadas del foco $F$ y las ecuaciones de la recta de simetría ( que ha de ser paralela a uno de los ejes de coordenadas ) y de la recta directriz.

SOLUCIÓN.
Caso I ( La recta de simetría es paralela al eje Ox ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$y^2=4px$$ Sin embargo, teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$y^2=4p(x-1)$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$3^2=4p(3-1)$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{9}{8}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$y^2=4\cdot \dfrac{9}{8}\,(x-1)$$ es decir $$y^2=\dfrac{9}{2}\,(x-1)$$ por lo que podemos escribir las coordenadas del foco, ya que sabemos que éstas son $F(p+1,0)$, esto es $$F(9/8+1,0) \rightarrow (17/8,0)$$ Por otra parte, la recta directriz, tiene por ecuación $x=1-p=1-9/8$ esto es $$\text{recta directriz}\equiv x -\dfrac{1}{8}$$

Caso II ( La recta de simetría es paralela al eje Oy ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$x^2=4py$$ Teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$(x-1)^2=4py$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$(3-1)^2=4p\cdot 3$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{1}{3}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$(x-1)^2=\dfrac{4}{3}\,y$$ que puede expresarse también de la forma $$y=\dfrac{3}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}\,x+\dfrac{3}{4}$$
Podemos escribir las coordenadas del foco teniendo en cuenta la traslación: $F(1,0+p)$, esto es $$F(1,0+1/3)\rightarrow (1,1/3)$$ Por otra parte, por la traslación, la recta directriz, tiene ahora por ecuación $y=-p=-\dfrac{1}{3}$
$\square$

Cónicas. Ecuación reducida de la parábola ( vértice en el origen de coordenadas )

ENUNCIADO. Demuéstrese que la ecuación de una parábola cuya recta de simetría coincide con el eje Ox ( $y=0$ ) y cuyo vértice se encuentra en el origen de coordenadas, $V(0,0)$, y tal que éste equidista una distancia $p$ de la recta directriz $d$ ( perpendicular al eje Ox ) y del foco $F$ ( que está en el eje Ox, a la derecha del origen de coordenadas ) puede escribirse como $y^2=4px$

SOLUCIÓN. La condición para que un punto genérico $X(x,y)$ pertenezca al lugar geométrico es $$\text{dist}(d,X)=\text{dist}(X,F)$$ Teniendo en cuenta que $F(p,0)$ y que y la recta directriz tiene por ecuación $x=-p$, $$p+x=\sqrt{(x-p)^2+(y-0)^2}$$ y por tanto $$(p+x)^2=(x-p)^2+y^2$$ esto es $$x^2+2px+p^2=x^2-2px+p^2+y^2$$ y simplificando llegamos a $$y^2=4px$$

NOTA: En el caso de que el foco esté a la izquierda del vértice, tenemos que $F(-p,0)$ y la recta directriz tiene ahora por ecuación $x=p$; repitiendo el mismo proceso que antes, $$p+x=\sqrt{(x-(-p))^2+(y-0)^2}$$ por tanto $$(-p+x)^2=(x+p)^2+y^2$$ con lo cual $$x^2-2px+p^2=x^2+2px+p^2+y^2$$ y simplificando se obtiene $$y^2=-4px$$

OBSERVACIÓN: En lo que se ha hecho, $p$ representa la distancia del foco al vértice. Sin embargo, en algunos libros ( como por ejemplo en el libro de texto que hemos utilizado en este curso ) se da la ecuación de la parábola de la forma $$y^2=2px$$ ( habitualmente usando la misma letra '$p$' ), donde $p$ hay que interpretarla en estos casos como la mitad de la distancia del vértice al foco.

Un exercici de geometria analítica per determinar els elements d'una hipèrbola

Enunciat:
Considereu una hipèrbola equilàtera que té per equació $h:\,x\,y=1$ (referida a les seves asímptotes). Determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica.

Resolució:
Sabem que l'equació d'una hipèrbola equilàtera en forma canònica (Figura 1) és
$x^2-y^2=a^2$
i té per asímptotes les rectes $y=\pm x$

Figura 1

Si girem els eixos $45º$ en el sentit contrari a les agulles del rellotge (Figura 2), hem vist que l'equació s'escriu de la forma
$x\,y=\dfrac{a^2}{2}$
i parlem, llavors, d'equació de la hipèrbola referida a les seves asímptotes, ja que en fer el gir de 45º, els nous eixos de coordenades passen a ser les rectes asímptotes [ els antics eixos de coordenades es representen a la figura en forma discontínua ]

Figura 2

Com que
$\dfrac{a^2}{2}=1$
deduïm que
$a=\pm \sqrt{2}$

Sabem que les coordenades dels focus són:
$F(a,a)$
$F'(-a,-a)$
per tant, podem especificar els seus valors
$F(\sqrt{2},\sqrt{2})$
$F'(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$

El valor de $c$ ve donat per la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ en una hipèrbola
$c^2=a^2+b^2$
i com que $a=b$
$c^2=2\,a^2$
és a dir
$c=\sqrt{2}\,a$
recordem, però, que
$a=\sqrt{2}$
i, per tant,
$c=2$

Amb això, ja podem calcular el valor de l'excentricitat $e=c/a$
$e=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} > 1$
(més gran que u, tal i com, s'espera per a una hipèrbola)

Calculem, ara, les coordenades dels vèrtexs A i A'; per això, tenim en compte que
aquests punt són els p. d'intersecció entre la recta d'equació $y=x$ (vegeu la figura) i la hipèrbola $x\,y=1$

resolent el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x\,y=1\\y=x\\ \end{matrix}\right\}$
trobem
$A(1,1)$
$A'(-1,-1)$

pel que fa als vèrtexs imaginaris B, B', observem que es troben damunt d'una circumferència de radi igual a $a$, igual que els altres dos vèrtexs A i A' (ja determinats): B es situa al 2n quadrant i B' al quart (tots dos damunt la bisectriu $y=-x$)

per tant
$B(-1,1)$
$B'(1,-1)$

$\square$

Elipose generada por un punto de un segmento que desliza entre dos rectas perpendiculares ... ( Artículo escrito en catalán )

[ construcción interactiva ]

[nota del autor]

Ejercicios sobre cónicas ... ( texto en catalán )

[nota del autor]

Clasificar la siguiente curva cónica. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica
    $3\,x^2+2\,y^2-24=0$
Determineu tots els seus elements i calculeu el valor de l'excentricitat. Representeu-la gràficament.

Resolució:
Podem escriure l'expressió de la forma
    $\dfrac{x^2}{\frac{1}{3}}+\dfrac{y^2}{\frac{1}{2}}=24$
I dividint ambdós membres per $24$ trobem l'expressió d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades
    $\dfrac{x^2}{\frac{24}{3}}+\dfrac{y^2}{\frac{24}{2}}=1$
que es pot posar de la forma
    $\dfrac{x^2}{\big(\sqrt{8}\big)^2}+\dfrac{y^2}{\big(\sqrt{12}\big)^2}=1 \quad \quad (1)$

D'acord amb l'expressió genèrica d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades
$\dfrac{x^2}{\square^2}+\dfrac{y^2}{\square^2}=1 \quad \quad (2)$
[ on els símbols quadrats dels denominadors indiquen els valors dels semieixos $a$ - lletra amb què, per conveni, es designa al semieix major - i $b$ - designació del semieix menor ]
i, a partir de la comparació de l'expressió concreta (1) amb aquesta expressió genèrica (2), podem veure que el semieix major $a$ es troba damunt de l'eix d'ordenades i el seu valor és igual a
$a=\sqrt{12}$
i, per altra banda, el valor del semieix menor $b$ és igual a
$b=\sqrt{8}$
i es situa, en aquest cas, damunt de l'eix d'abscisses.

Per tant, els focus de l'el·lipse es situen damunt de l'eix $Oy$
i, atès que aquesta el·lipse és centrada a l'origen de coordenades, les seves coordenades són $F(0,c)$ i $F^{'}(0,-c)$
Tenint en compte que
$a^2=12$ i $b^2=8$, calculem el valor del paràmetre $c$ (vegeu la figura)
$c=\sqrt{a^2-b^2}=2$

Calculem el valor de l'excentricitat:
$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{12}}\approx 0,5774$

Coordenades dels vèrtexs:
$(0,\sqrt{12})$
$(0,-\sqrt{12})$
$(\sqrt{8},0)$
$(-\sqrt{8},0)$

$\square$

[nota del autor]