Determineu el valor del radi i les coordenades del centre de la circumferència que passa pels punts A(1,1), B(3,2) i C(6,-1).
Resolució:
El circumcentre d'un triangle és el punt d'intersecció de les rectes mediatrius. Per determinar les seves coordenades, n'hi ha prou a intersectar-ne dues; primer de tot, escriurem les seves equacions a partir de les coordenades dels vèrtexs i, per acabar, resoldrem el sistema d'equacions que, lògicament, ha de ser compatible i determinat.
1r pas: Trobem l'equació de la recta mediatriu $r_1$ que passa per A(1,1) i B(3,2)
Un vector director de la recta mediatriu $r_1$ corresponent al costat AB és un vector perpendicular a un vector director de la recta que passa pels punts A i B, que anomenarem $\vec{n}_{1}$; com que $\vec{u}_{1}=(2,1)$ (el v. director de la recta que passa per A i B), un vector perpendicular és, per exemple, el vector $\vec{n}_{1}=(1,-2)$
llavors, l'equació en forma general del la recta mediatriu $r_{1}$ del segment AB es pot escriure
$r_{1}:\,x-2y+c_{1}=0$
Per determinar el valor del terme independent $c_{1}$, tenim en compte que el punt mig del segment AB, $M(2,\frac{3}{2})$ es troba damunt la recta $r_{1}$
llavors s'ha de complir que
$3-2\cdot \frac{3}{2}+c_1=0$
i, per tant,
$c_1=1$
Llavors, ja podem escriure l'equació de la recta mediatriu del costat AB
$r_1:\,x-2y+1=0$
2n pas: Trobem l'equació de la recta mediatriu $r_2$ que passa per B(3,2) i C(6,-1)
Un vector director de la recta mediatriu $r_2$ corresponent al costat BC és un vector perpendicular a un vector director de la recta que passa pels punts B i C, que anomenarem $\vec{n}_{2}$; com que $\vec{u}_{2}=(1,-1)$ (el v. director de la recta que passa per B i C), un vector perpendicular és, per exemple, el vector $\vec{n}_{2}=(1,1)$
llavors, l'equació en forma general del la recta mediatriu $r_{2}$ del segment BC es pot escriure
$r_{2}:\,x+y+c_{2}=0$
Per determinar el valor del terme independent $c_{2}$, tenim en compte que el punt mig del segment BC, $M(\frac{9}{2},\frac{1}{2})$ es troba damunt la recta $r_{2}$
llavors s'ha de complir que
$\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+c_2=0$
i, per tant,
$c_1=-5$
Llavors, ja podem escriure l'equació de la recta mediatriu del costat AB
$r_2:\,x+y-5=0$
3r pas: Resolem el sistema d'equacions $\{r_1,r_2\}$ per trobar les coordenades de G
És important entendre que cal que resolem el sistema d'equacions perquè $G = r_{1} \cap r_{2}$
$\left.\begin{matrix} x-2y=-1\\ \\ x+y=5\\ \end{matrix}\right\}$
Restant la segona equació de la primera, arribem a una equació amb una sola variable
$3y=6$
i d'aquí
$y=2$
Substituint aquest valor en una de les dues equacions originals trobem
$x=3$
per tant les coordenades del baricentre del triangle són
$G(3,2)$
4t pas: Calculem el valor del radi de la circumferència circumscrita
El valor del radi $r$ és igual a qualsevol de les distàncies d(G,A), d(G,B), o d(G,C); totes són - lògicament - iguals, atès que la circumferència circumscrit - de centre G - passa per A, B i C
per tant, si
$d(G,A)=\left|\sqrt{(x_G-x_A)^2+(y_G-y_A)^2} \right|$
que és igual a
$\left|\sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2}\right|$
trobem que
$r=\left|\sqrt{5}\right| \, \text{unitats de longitud arbitràries}$
