Enunciat:
Si $X$ és una variable aleatòria $N(5,2)$, calculeu:
a) $P(X \le 2,1)$
b) $P(\left|X\right| \le 3,4)$
Observació:
Tenint en compte que $X$ és una v.a. contínua, és irrellevant el fet de posar desigualtats estrictes o febles, atès que - recordem-ho - la probabilitat d'un valor puntual $X=k$ és nul·la
$P(X=k)=0$
Resolució:
a) Fent el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
podem passar a treballar amb una distribució normal estàndard i, per tant, podrem fer ús de les taules de la funció de distribució de probabilitat $N(0,1)$
Llavors
si $x=2,1$
$z=\dfrac{2,1-5}{2}$
$=-1,45$
és a dir
$P(X \le 2,1) = P(Z \le -1,45)$
i, tenint en compte la simetria de la funció de densitat $f(z)$, podem escriure que
$P(Z \le -1,45)= 1-P(Z \le 1,45)$
Com que $P(Z \le 1,45)=F(0,45)$ tenim que, de les taules $N(0,1)$, trobem
$F(0,45)=0,9265$
Finalment
$P(X \le 2,1)=1-0,9265$
$=0,0735$
$\square$
b) Treballarem (com en l'apartat anterior) amb la v.a. normal estàndard $Z$ i, per això, fem el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
Com que
si $x=3,4$
$z=\dfrac{3,4-5}{2}$
$=-0,8$
$P(\left|X\right|<3,4)=P(\left|Z\right| \le -0,8)$
que és igual a
$P(-0,8 \le Z \le 0,8)$
i, per tant, a
$P(Z\le 0,8)-P(Z \le -0,8)$
i, per la simetria de $f(z)$, i amb la finalitat de fer ús de les taules, podem escriure-ho de la forma
$P(Z \le 0,8)-\big(1-P(Z \le 0,8)\big)$
tenint en compte que
$P(Z \le 0,8)$ ve donat per $F(0,8)$
consultant les taules, trobem
$P(\left|X\right|<3,4)=F(0,8)-\big(1-F(0,8)\big)$
$=1-2\cdot \big(1-0,7881\big)$
$=0,5762$
$\square$
