Clasificación de dos curvas cónicas y estudio de la incidencia entre ellas

ENUNCIADO. Se consideran las curvas cónicas $\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$ y $\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$. Dígase a qué tipo de cónicas corresponde cada una de ellas y estúdiese la incidencia de dichas curvas.

SOLUCIÓN.
$\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$
  $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0$
    $\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2$, luego esta curva es una circunferencia de centro $(2,0)$ y radio $r=4$

$\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$
  $\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0$
    $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0$
      $\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16$
        $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1$
          $\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1$, tratándose pues de una elipse de centro $(2,0)$; semiejes $a=4$ y $b=3$

Los vértices de la elipse son $A_{2}(4+2,0)$, $A'_{2}(-4+2,0)$; $B_{2}(0,3)$ y $B'_{2}(0,-3)$. Y los de la circunferencia $A_{1}(4+2,0)$, $A'_{1}(-4+2,0)$; $B_{1}(0,4)$ y $B'_{1}(0,-4)$. Por consiguiente la elipse $\mathcal{C}_2$ es tangente interior a la circunferencia $\mathcal{C}_1$ en $A_{1}=A_{2}$ y en $A'_{1}=A'_{2}$
$\square$

Ecuación de una circunferencia en forma desarrollada. Centro y radio.

ENUNCIADO. Se considera la circunferencia $\mathcal{C}\equiv x^2+y^2-2x+6y+6=0$. Determínense las coordenadas de su centro y el valor de su radio.

SOLUCIÓN. Haciendo un poco de álgebra vemos que $x^2+y^2-2x+6y+6=0$ puede escribirse en la forma centro-radio:
$x^2+y^2-2x+6y+6=0$
  $\left((x-1)^2-1^2\right)+\left((y+3)^2-3^2\right)+6=0$
    $(x-1)^2+(y+3)^2-1-9+6=0$
      $(x-1)^2+(y+3)^2-4=0$
        $(x-1)^2+(y+3)^2=4$
          $(x-1)^2+(y-(-3))^2=2^2$
que adopta la forma de la ecuación de la circunferencia en forma centro-radio: $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
de lo cual se deduce que el centro de la circunferencia es el punto $C(1,-3)$ y el radio es $r=2$
$\square$

Ejercicios de lugar geométrico. Circunferencias.

ENUNCIADO. Se considera la circunferencia $\mathcal{C}$ de centro $C(1,2)$ y radio $4$. Escríbase la ecuación de dicha circunferencia.
SOLUCIÓN. Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro una distancia dada ( a la que denominamos radio ), esto es $\mathcal{C}\equiv \{X(x,y):\text{dist}(X,C)=r\}$, donde $\text{dist}(X,C)=\sqrt{(x-x_C)^2+(y-y_C)^2}$

En nuestro caso, $$\mathcal{C}\equiv \{X(x,y):\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=4\}$$ Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad en la expresión de la condición $\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}=4$, podemos escribir la ecuación pedida: $$\mathcal{C}\equiv (x-)^2+(y-2)^2=4^2$$, que en forma desarrollada es $$\mathcal{C}\equiv x^2+y^2-2x-4y-11=0$$
$\square$

Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu l'equació de la circumferència que passa pels punts
    P(-1,0), Q(0,2) i R(1,-1)

Resolució:
Anomenant $r$ al radi de la circumferència, i $x$ i $y$ a les coordenades del centre $C$ de la circuferència, es complirà que la distància euclidiana entre el centre de la circumferència i cada un d'aquest punts ha de ser igual al valor del radi $r$; per tant, d'acord amb el teorema de Pitàgores s'haurà de complir

    $\left.\begin{matrix}\big(x-(-1)\big)^2+(y-0)^2=r^2\\(x-0)^2+(y-2)^2=r^2\\(x-1)^2+\big(y-(-1)\big)^2=r^2\end{matrix}\right\}$

Resolem el sistema. Tenint en compte que els segons membres de totes tres equacions són igual a $r^2$, igualarem la primera amb la segona i la segona amb tercera

    $\left.\begin{matrix}x^2+y^2+2\,x+1=x^2+y^2-4\,y+4\\x^2+y^2-4\,y+4=x^2+y^2-2\,x+2\,y+1 \end{matrix}\right\}$

Simplificant

    $\left.\begin{matrix}2\,x+4\,y=3\\2\,x-6\,y=-2 \end{matrix}\right\}$

sistema que té com a solució
    $x=y=\dfrac{1}{2}$

El centre de la circumferència és, per tant, el punt
    $C\Big(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)$

A continuació, calcularem el valor del radi $r$; per això, tan sols cal substituir els valors que hem trobat de $x$ i $y$ en una qualsevol de les tres equacions (per exemple, a la segona)

    $\big(\dfrac{1}{2}-0\big)^2+\big(\dfrac{1}{2}-2\big)^2=r^2$

i, d'aquí

    $r=\sqrt{\dfrac{5}{5}}$

Per tant, la circumferència del problema ve descrita per la següent equació

    $\text{C:}\,\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)^2+\Big(y-\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{5}{2}$

$\square$

[nota del autor]

Recta tangente a una circunferencia ...

Enunciat:
Donada la recta
$r:\,y=2x+k$
i la circumferència
$c:\,(x-1)^2+y^2=1$
determineu els valors de $k$ per als quals $r$ i $c$ són tangents.

Resolució:
Per tal d'investigar la incidència entre $r$ i $c$ cal resoldre el sistema d'equacions

$\left.\begin{matrix} (x-1)^2+y^2=1 \\ y=2x+k \\ \end{matrix}\right\}$

Substituint l'expressió de $y$ de la segona equació a la primera equació trobem una equació compatible amb les altres dos amb només una variable

$(x-1)^2+(2x+k)^2=1$

desenvolupant les potències del binomis i agrupant i simplificant queda

$5x^2+2x(2k-1)+k^2=0$

La solució d'aquesta equació polinòmica de segon grau dóna les abscisses dels punts d'intersecció de $r$ i $c$; en el cas que la recta no sigui secant (la recta talla en dos punts a la circumferència) ans sigui tangent (en cada situació de tangència - és obvi que n'hi haurà dos - la recta toca la circumferència en un sol punt), es complirà que el valor del discriminant
$\Delta=b^2-4ac$
serà igual a zero

com que
$a=5$
$b=2\,(2k-1)$
i
$c=k^2$

imposant la condició anterior trobem
$\big(2\,(2k-1)\big)^2-4\cdot 5 \cdot k^2 = 0$
equació que, simplificada, s'escriu
$k^2-4k-1=0$
resolent-la, trobem dos valors de $k$ (un per cada un dels dos punts de tangència)

$k=\dfrac{-4 \pm 2\,\sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{matrix} -2+\sqrt{5} \\ \\ -2-\sqrt{5} \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[autoría]