Una manera de justificar el teorema del coseno

En este artículo voy a justificar el teorema del coseno a partir del producto escalar. Recordemos que en dicho teorema se afirma que, dado un triángulo $\triangle(A,B,C)$, de vértices $A,B$ y $C$ y lados (enfrentados a los vértices respectivos) $a,b$ y $c$, $ c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\widehat{BCA})$. Vamos allá.

Establezco un sistema de referencia ortogonal en un punto arbitrario, $O$, del plano, y tomo una base ortonormal, como por ejemplo la base canónica $\mathcal{C}=\{\hat{i}=(1,0)\,,\,\hat{j}=(0,1)\}$. En primer lugar, envío vectores de posición a los vértices del triángulo desde el origen del sistema de referencia: $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$, de manera que los vectores que apuntan de un vértice a otro del triángulo se relacionan mediante la suma vectorial, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$

A continuación, y a partir del producto escalar euclidiano, multiplico (escalarmente) el vector $\overrightarrow{AB}$ por sí mismo, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\, \overrightarrow{AB}\rangle = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2$, que, de acuerdo con el convenio de notación que he utilizado, es igual a la longitud del lado del triángulo enfrentado al vértice $C$, es decir, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\, \overrightarrow{AB}\rangle = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=c^2$; pero, por otra parte, y teniendo en cuenta la relación de suma entre los vectores de los lados del triángulo, $\langle \overrightarrow{AB}\,,\,\overrightarrow{AB}\rangle=\langle \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\,,\, \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\rangle = \langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle=$
$=\langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle=$
$=\langle \overrightarrow{BC}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle+2\,\langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC}\rangle + \langle \overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{CA}\rangle$
Entonces,
$\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2 + 2\,\left\| \overrightarrow{CA} \right\|\cdot \left\| \overrightarrow{BC} \right\|\,\cos\,\left(\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})\right) + \left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2$, y teniendo en cuenta que $\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})=\pi - \widehat{BCA}$, se tiene que $\cos\,\left(\angle(\overrightarrow{CA}\,,\,\overrightarrow{BC})\right)=\cos\,(\pi- \widehat{BCA})=-\cos\,\widehat{BCA}$; y teniendo en cuenta que, de acuerdo con el convenio de notación que he utilizado, $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|^2=c^2$, $\left\| \overrightarrow{BC} \right\|^2=a^2$ y $ \left\| \overrightarrow{CA} \right\|^2=b^2$, se llega finalmente a $$ c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\widehat{BCA}) $$

Nota:
Procediendo de manera análoga, y eligiendo cada uno de los otros dos lados vectores se deduce, también, que $a^2=b^2+c^2-2ac\,\cos(\widehat{CAB})$ y $b^2=a^2+c^2-2ac\,\cos(\widehat{ABC})$

$\diamond$

El triángulo de vectores y el teorema del coseno

Consideremos el triángulo $\triangle(A,B,C)$. En cada lado del mismo podemos colocar un vector, y, por tanto, podremos escribir la suma vectorial $\overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC}=\overset{\rightarrow}{AC}$

Calculemos ahora el producto escalar euclídeo de $\overset{\rightarrow}{AC}$ por sí mismo:
$\langle \overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{AC} \rangle = \left(\left\| \overset{\rightarrow}{AC} \right\|\right)^2 $, que es el cuadrado del lado $b$ del triángulo $\triangle(A,B,C)$, esto es, $b^2$     (1)
que, por otra parte, es igual a
$\langle \overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC} \rangle=\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle$
  $=\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + 2\,\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle$
    $= \left(\left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\|\right)^2 + \left(\left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\|\right)^2 + 2\cdot \left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\| \cdot \left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\| \,\cos\,\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC})$

Denotando por $c$ a $\left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\|$, por $b$ a $\left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\|$ y siendo $180^{\circ}-\beta$ el ángulo $\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC})$ ( por ser ángulos suplementarios ) podemos escribir la expresión anterior de la forma
      $c^2 +a^2 +2\,c\,a\,\cos (180^{\circ}-\beta)$
        $= c^2 +a^2 - 2\,c\,a\,\cos \beta$     (2)

Finalmente, igualando (1) y (2), nos encontramos con la fórmula del teorema del coseno: $$b^2=c^2 +a^2 - 2\,c\,a\,\cos \beta$$

De manera análoga, es claro que efectuando el producto escalar de cada uno de los otros dos vectores consigo mismos, se llega a: $$a^2=b^2 +c^2 - 2\,b\,c\,\cos \alpha$$ y $$c^2=a^2 +b^2 - 2\,a\,b\,\cos \gamma$$

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Resolución de un triángulo general, calculando los ángulos a partir de las longitudes de los tres lados

Demostración del Teorema del coseno ... ( Artículo escrito en catalán )

Considerem un triangle general ABC, com el de la figura. En traçar una altura (per exemple, la que passa pel vèrtex C) el triangle ABC queda dividit en dos triangles rectangles. Del triangle rectangle MBC, $a^2=h^2+n^2$ (1) (teorema de Pitàgores). Tenint en compte que $n=c-b\,\cos(\alpha))$ (triangle rectangle AMC) i que $h=b\,\sin(\alpha))$ (triangle rectangle MBC), podrem escriure la igualtat (1) de la forma: $a^2=b^2\,\sin^{2}(\alpha)+(c-b\,\cos(\alpha))^2$ que, simplificada, queda $a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos(\alpha)$ Semblantment, si repetim el procés traçant les altres altures trobarem: $b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos(\beta)$ i $c^2=a^2+b^2-2\,b\,a\,\cos(\gamma)$ $\square$

[nota del autor]