Recordemos algunas cosas esenciales sobre la función recíproca:
Si una función $f$ es biyectiva ( inyectiva y exhaustiva ), entonces existe otra función, $f^{-1}$ a la que denominamos función recíproca ( o inversa ) de la función dada; esta función envía cada valor de función, $y$, al conjunto de partida, haciéndole corresponder un único valor $x$, de tal modo que si $y=f(x)$, entonces $x=f^{-1}(y)$. Tengamos en cuenta que: a) de existir función recíproca, esta es única; b) las funciones que no son biyectivas no tienen función recíproca; c) si una función $g$ es la recíproca de $f$, entonces $f$ es la función recíproca de $g$.
Una propiedad muy importante se refiere a la composición de la función directa $f$ y la función recíproca $f^{-1}$, que es la siguiente $(f \circ f^{-1})(x)=(f^{-1} \circ f)(x)=x$; es decir, $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \text{id}$, siendo $\text{id}$ la función identidad, pues para todo $x$ del dominio de definición $D_f$, $\text{id}(x)=x$.
Otra propiedad bastante útil es la siguiente: $D_{f}=\text{Recorrido}_{f^{-1}}$ así como $D_{f^{-1}}=\text{Recorrido}_{f}$
Procedamos ahora a estudiar cómo podemos derivar la función recíproca $f^{-1}$ a partir de la derivada de la función directa $f$:
De la igualdad anteriormente referida $$f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \text{id}$$ al hacerla actuar sobre $x$ podemos escribir $$(f \circ f^{-1})(x) = (f^{-1} \circ f)(x) = (\text{id})(x)$$ Tomando, por ejemplo, la igualdad entre el primer y el tercer miembro $$(f \circ f^{-1})(x)=(\text{id})(x)$$ es decir $$(f(f^{-1}))(x)=x$$ Derivando ahora cada uno de ambos miembros de esa desigualdad ( aplicando la regla de la cadena ) $$(f(f^{-1})(x))'\,(f^{-1}(x))'=(x)'$$ es decir $$(f(f^{-1})(x))'\,(f^{-1}(x))'=1$$ de donde, despejando, $$(f^{-1}(x))'=\dfrac{1}{(f(f^{-1})(x))'}$$ que, en una notación más compacta ( menos farragosa, pero menos rigurosa ) podemos expresar de la forma $$x'_{y}=\dfrac{1}{y'_x}$$ entendiendo que $y_x$ representa $f(x)$ y que $x_y$ representa $f^{-1}(x)$.
Por supuesto, también se cumple que $$(f^{-1}(f(x))'\,f'(x)=1$$ y por tanto $$f'(x)=\dfrac{1}{(f^{-1}(f(x))'}$$ que podemos resumir de forma más compacta de la forma $$y'_x=\dfrac{1}{x'_y}$$
Ejemplo:
Sea la función biyectiva $y=\sqrt[3]{x}$. ¿ Cuál es su derivada ?. Vamos a utilizar lo explicado ( si bien podríamos derivar dicha función expresándola en forma de potencia con exponente fraccionario y derivar directamente ).
Observemos que la función recíproca es $x=y^3$; su derivada es $x'_{y}=3y^2$. Entonces, por la regla de derivación de la función recíproca debe cumplirse que $$y'_{x}=\dfrac{1}{x'_y}$$ esto es, $$y'_x=\dfrac{1}{3y^2}=\dfrac{1}{3\,(\sqrt[3]{x})^2}$$ $\square$
