Un problema de ecología de campo ...

ENUNCIADO:
En un espacio natural se desea estimar el número de individuos $N$ de una cierta especie; para ello, se procede en dos etapas:
1.º) Se realiza la captura de n $n$ individuos ( $ n \le N $); se marcan y se dejan en libertad.
2.º) A continuación, volvemos a realizar otro conjunto de capturas, seleccionando al azar $m$ individuos ($m \le n$), y, contabilizamos cuántos de los mismos están marcados; pongamos que esta vez encontramos $r \le m$ individuos marcados ( individuos que ya habían sido capturados la primera vez).
A partir de todo esto, debemos encontrar una cota superior de $N$.

SOLUCIÓN:
Pensemos en el problema análogo de extraer al azar y sin reemplazamiento $n$ bolas de una urna que contiene $N$ bolas en total, de las cuales $m$ son negras y, por tanto, $N-m$ son blancas, con la consiguiente pregunta: ... al extraer n bolas en esas condiciones, cuál és la probabilidad de que entre ellas haya $r$ bolas negras ?, entendiendo por `bola negra´ un individuo con marca y por `bola blanca´ un individuo sin marca.

Sea la variable aleatoria $X$ que representa el conjunto de valores posibles correspondientes al número de bolas negras ( número de individuos con marca ) contabilizadas entre las $n$ bolas ( número de individuos capturados en la primera fase del proceso ). Así, el valor de $X$ está en el conjunto $\{0,1,2,...,m\}$. El modelo matemático de dicha variable corresponde sin duda a una distribución hipergeométrica. Y la probabilidad pedida es la función de cuantía

$$P\{X=r\}=\dfrac{\binom{m}{r}\, \binom{N-m}{n-r}}{\binom{N}{n}} \quad \quad [1]$$


Dicha probabilidad será mayor cuanto mayor sea el número de bolas de la urna y ello nos sirve para encontrar una cota superior de esta cantidad; en efecto, si $P_{N}\{X=r\} \ge P_{N-1}\{X=i\}$, se deduce, tras unos cuántos pasos de álgebra ( a partir de [1] ) la siguiente desigualdad: $N \le \dfrac{m\cdot n}{r} \quad \quad [2]$

Utilizando la analogía, consideremos, por ejemplo, que el número de individuos capturados en la primera etapa y marcados ( para volver a soltarlos ) es igual $200$ ($n=200$); y, que en el segundo conjunto de capturas, al capturar, por un poner, $50$ individuos ($m=50$), encontramos que $30$ de estos están marcados ($r=30$). Haciendo uso del resultado [2], encontramos una cota superior del número de individuos que constituyen la población:
$N \le 50 \cdot 200/30$, es decir $N \le 333$ individuos
$\square$

La distribución de probabilidad hipergeométrica ... ( Artículo escrito en catalán )

El model de variable aleatòria hipergeomètrica és un model de v.a. discreta que dóna la solució al següent problema.

Considerem el problema d'extreure $n$ boles sense reemplaçament d'una urna on hi ha $N$ boles de colors, $m$ de les quals són blanques ( $ N \ge m $ ). Quant val la probabilitat que hi hagi
$k$ boles blanques ( $k \le n$ ) entre les $n$ boles que hem tret de la urna ?

D'acord el tipus de problema (combinacions ordinàries), al principi multiplicatiu, i al principi de Laplace (per assignar probabilitats probabilitats a successos igualment probables), entenem que la variable aleatòria $X$ (nombre de boles blanques que apareixen a l'extracció de les $n$ boles) pren valors en el conjunt $\{0,1,2,\ldots,m \}$ podem escriure

$\displaystyle P(X=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\,\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Es demostra que els paràmetres d'aquest model de v.a. són

Esperança de $X$:
$\displaystyle \mu = \dfrac{n\,m}{N}$

Variància de $X$:
$\displaystyle \sigma^2 = \dfrac{n\,m\,(N-n)\,(N-m)}{N^2\,(N-1)}$

Exemple 1

Enunciat:
En una urna hi ha deu boles de colors, entre les quals n'hi ha quatre de color blanc. Extraiem set boles a la vegada ( que és equivalent a treure-les una a una, però sense reemplaçar-les a mesura que les anem traient ). Quant val la probabilitat que entre aquestes set boles n'hi hagi tres de blanques ?

Resolució:
De l'expressió general
$\displaystyle P(X=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\,\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
tenint en compte que
$N=10$
$m=4$
$n=7$
$k=3$
calculem directament
$\displaystyle P(X=3)=\dfrac{\binom{4}{3}\,\binom{10-4}{7-3}}{\binom{10}{7}}=\ldots=\dfrac{1}{2}$
$\square$

[nota del autor]