Enunciat:
Resoleu:
a)
2^{x^2-2}=4
b)
\log_{x}\,3=2
c)
\left.\begin{matrix} \log\,x-\log\,y=1 \\ \log\,x+\log\,y=1 \\ \end{matrix}\right\}
Resolució:
a)
2^{x^2-2}=4
Observem que podem expressar el segon membre com una potència de base 2 (la mateixa que la de la potència del primer membre), per tant
2^{x^2-2}=2^2
les bases de les potències d'ambdós membres són iguals, per tant els exponents han de ser iguals
x^2-2=2
que podem escriure de forma ordenada i simplificada, agrupant els termes no nuls en el primer membre
x^2-4=0
equació algèbrica (polinòmica) que resolem fàcilment
x=\pm 2
\square
b)
\log_{x}\,3=2 \Leftrightarrow x^2=3
per tant
x=\left| \sqrt{3}\right|
[Recordem que la base d'un logaritme (en aquest cas, x ) cal que sigui un nombre positiu ]
\square
c)
\left.\begin{matrix} \log\,x-\log\,y=1 \\ \log\,x+\log\,y=1 \\ \end{matrix}\right\}
Sumant (membre a membre) ambdues equacions, trobem l'equació equivalent que només depèn de la variable x
2\,\log\,x=2
és a dir
\log\,x=1
i, per tant
x=10
Per altra banda, restant la primera de la segona, arribem a una altra equació equivalent que només depèn de la variable y
2\,\log\,y=0
llavors, és evident que
y=0
\diamond
[Observació: Recordem que l'omissió de la base dels logaritmes (a l'enunciat) indica, de fet, que els hem de prendre (per conveni) en base 10 ]
