Enunciat:
Resoleu:
a)
$2^{x^2-2}=4$
b)
$\log_{x}\,3=2$
c)
$\left.\begin{matrix} \log\,x-\log\,y=1 \\ \log\,x+\log\,y=1 \\ \end{matrix}\right\}$
Resolució:
a)
$2^{x^2-2}=4$
Observem que podem expressar el segon membre com una potència de base $2$ (la mateixa que la de la potència del primer membre), per tant
$2^{x^2-2}=2^2$
les bases de les potències d'ambdós membres són iguals, per tant els exponents han de ser iguals
$x^2-2=2$
que podem escriure de forma ordenada i simplificada, agrupant els termes no nuls en el primer membre
$x^2-4=0$
equació algèbrica (polinòmica) que resolem fàcilment
$x=\pm 2$
$\square$
b)
$\log_{x}\,3=2 \Leftrightarrow x^2=3$
per tant
$x=\left| \sqrt{3}\right|$
[Recordem que la base d'un logaritme (en aquest cas, $x$ ) cal que sigui un nombre positiu ]
$\square$
c)
$\left.\begin{matrix} \log\,x-\log\,y=1 \\ \log\,x+\log\,y=1 \\ \end{matrix}\right\}$
Sumant (membre a membre) ambdues equacions, trobem l'equació equivalent que només depèn de la variable $x$
$2\,\log\,x=2$
és a dir
$\log\,x=1$
i, per tant
$x=10$
Per altra banda, restant la primera de la segona, arribem a una altra equació equivalent que només depèn de la variable $y$
$2\,\log\,y=0$
llavors, és evident que
$y=0$
$\diamond$
[Observació: Recordem que l'omissió de la base dels logaritmes (a l'enunciat) indica, de fet, que els hem de prendre (per conveni) en base $10$ ]
