Un problema de ecología de campo ...

ENUNCIADO:
En un espacio natural se desea estimar el número de individuos $N$ de una cierta especie; para ello, se procede en dos etapas:
1.º) Se realiza la captura de n $n$ individuos ( $ n \le N $); se marcan y se dejan en libertad.
2.º) A continuación, volvemos a realizar otro conjunto de capturas, seleccionando al azar $m$ individuos ($m \le n$), y, contabilizamos cuántos de los mismos están marcados; pongamos que esta vez encontramos $r \le m$ individuos marcados ( individuos que ya habían sido capturados la primera vez).
A partir de todo esto, debemos encontrar una cota superior de $N$.

SOLUCIÓN:
Pensemos en el problema análogo de extraer al azar y sin reemplazamiento $n$ bolas de una urna que contiene $N$ bolas en total, de las cuales $m$ son negras y, por tanto, $N-m$ son blancas, con la consiguiente pregunta: ... al extraer n bolas en esas condiciones, cuál és la probabilidad de que entre ellas haya $r$ bolas negras ?, entendiendo por `bola negra´ un individuo con marca y por `bola blanca´ un individuo sin marca.

Sea la variable aleatoria $X$ que representa el conjunto de valores posibles correspondientes al número de bolas negras ( número de individuos con marca ) contabilizadas entre las $n$ bolas ( número de individuos capturados en la primera fase del proceso ). Así, el valor de $X$ está en el conjunto $\{0,1,2,...,m\}$. El modelo matemático de dicha variable corresponde sin duda a una distribución hipergeométrica. Y la probabilidad pedida es la función de cuantía

$$P\{X=r\}=\dfrac{\binom{m}{r}\, \binom{N-m}{n-r}}{\binom{N}{n}} \quad \quad [1]$$


Dicha probabilidad será mayor cuanto mayor sea el número de bolas de la urna y ello nos sirve para encontrar una cota superior de esta cantidad; en efecto, si $P_{N}\{X=r\} \ge P_{N-1}\{X=i\}$, se deduce, tras unos cuántos pasos de álgebra ( a partir de [1] ) la siguiente desigualdad: $N \le \dfrac{m\cdot n}{r} \quad \quad [2]$

Utilizando la analogía, consideremos, por ejemplo, que el número de individuos capturados en la primera etapa y marcados ( para volver a soltarlos ) es igual $200$ ($n=200$); y, que en el segundo conjunto de capturas, al capturar, por un poner, $50$ individuos ($m=50$), encontramos que $30$ de estos están marcados ($r=30$). Haciendo uso del resultado [2], encontramos una cota superior del número de individuos que constituyen la población:
$N \le 50 \cdot 200/30$, es decir $N \le 333$ individuos
$\square$

Sea $X$ una variable aleatoria normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si $X$ és una variable aleatòria $N(5,2)$, calculeu:
    a) $P(X \le 2,1)$
    b) $P(\left|X\right| \le 3,4)$

Observació:
Tenint en compte que $X$ és una v.a. contínua, és irrellevant el fet de posar desigualtats estrictes o febles, atès que - recordem-ho - la probabilitat d'un valor puntual $X=k$ és nul·la
$P(X=k)=0$

Resolució:
a)   Fent el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
podem passar a treballar amb una distribució normal estàndard i, per tant, podrem fer ús de les taules de la funció de distribució de probabilitat $N(0,1)$
Llavors
si $x=2,1$
$z=\dfrac{2,1-5}{2}$
    $=-1,45$
és a dir
$P(X \le 2,1) = P(Z \le -1,45)$
i, tenint en compte la simetria de la funció de densitat $f(z)$, podem escriure que
$P(Z \le -1,45)= 1-P(Z \le 1,45)$
Com que $P(Z \le 1,45)=F(0,45)$ tenim que, de les taules $N(0,1)$, trobem
$F(0,45)=0,9265$
Finalment
$P(X \le 2,1)=1-0,9265$
    $=0,0735$
$\square$

b)   Treballarem (com en l'apartat anterior) amb la v.a. normal estàndard $Z$ i, per això, fem el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
Com que
si $x=3,4$
$z=\dfrac{3,4-5}{2}$
    $=-0,8$
$P(\left|X\right|<3,4)=P(\left|Z\right| \le -0,8)$

que és igual a
$P(-0,8 \le Z \le 0,8)$
i, per tant, a
$P(Z\le 0,8)-P(Z \le -0,8)$
i, per la simetria de $f(z)$, i amb la finalitat de fer ús de les taules, podem escriure-ho de la forma
$P(Z \le 0,8)-\big(1-P(Z \le 0,8)\big)$

tenint en compte que
$P(Z \le 0,8)$ ve donat per $F(0,8)$
consultant les taules, trobem
$P(\left|X\right|<3,4)=F(0,8)-\big(1-F(0,8)\big)$

    $=1-2\cdot \big(1-0,7881\big)$
    $=0,5762$
$\square$

[nota del autor]

Sea una variable aleatoria normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si $X$ és una v.a. $N(3,1)$, calculeu $P(\left|X-6\right|\ge1,5)$

Resolució:
$\left|X-6\right|\ge 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} X-6 \ge 1,5 \; \text{si} \; X \ge 6 \\ \vee \\6-X \ge 1,5 \; \text{si} \; X < 6 \\ \end{matrix}\right.$

és a dir

$\left|X-6\right|\ge 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} X\ge 7,5 \; \text{si} \; X \ge 6 \\ \vee \\X < 4,5 \; \text{si} \; X < 6 \\ \end{matrix}\right.$

Per tant

$P(\left|X-6\right|\ge1,5)=P(X \le 4,5)+P(X \ge 7,5$
      $=P(X \le 4,5)+\big(1-P(X \le 7,5)\big) \quad \quad (1)$

i fent el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
on $\mu=3$ i $\sigma=1$
passarem a treballar (de forma equivalent) amb la variable aleatòria $Z$ normal estàndard i, doncs, podrem fer ús dels valors tabulats de la seva funció de distribució $F(z)$

A partir d'aquí, trobem que el resultat del càlcul (1) és igual a
$P\bigg(Z \le \dfrac{4,5-3}{1}\bigg)+\Big(1-P\bigg(Z \le \dfrac{7,5-3}{1}\bigg)\Big)$
que, en termes de la funció de distribució de probabilitat $F(z)$ [per a la consulta de les taules de la funció de distribució de $Z \sim N(0,1)$] es pot expressar de la forma
$F(1,5)+1-F(4,5)$

Com que $P(Z \le 4,5)$ [ és a dir, el valor de la funció de distribució per a $Z$ igual a $4,5$ ] és, pràcticament, igual a $1$ (vegeu les talues):
$F(4,5) = 1$
i, atès que, $F(1,5) \approx 0,9332$ (taules)
trobem que
$P(\left|X-6\right|\ge1,5)\approx 0,9332$

$\square$

[nota del autor]

Una variable aleatoria binomial ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una variable aleatòria $X$ és $B(9 \; , \; 0,25)$. Calculeu:
    a) el valor de $\mu$ ( esperança matemàtica de $X$ )
    b) el valor de $\sigma$ ( desviació de $X$ )
    c) $f(7)$
    d) $P(X \le 8)$
    e) $F(5)$
    f) $P(X=4)$
    g) $P(3 < X \le 6)$

Resolució:
a)
$\mu=n\,p$
    $=9\cdot 0,25$
    $=2,25$
$\square$

b)
$\sigma=\sqrt{n\,p\,q}$
    $=\sqrt{9\cdot 0,25 \cdot 0,75}$
    $\approx 1,2990$
$\square$

c)
$f(7)=P(X=7)$
    $=\binom{9}{7}\,0,25^{7}\cdot 0,75^{9-7}$
    $\approx 0,0012$
$\square$

d)
$\displaystyle P(X \le 8)=\sum_{i=0}^{8}\,P(X=i)$
    $=\sum_{i=0}^{8}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,9999962$
    $\approx 1$
$\square$

e)
$\displaystyle F(5)=P(X \le 5)=\sum_{i=0}^{5}\,P(X=i)$
    $=\sum_{i=0}^{5}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,9900$
$\square$

f)
$\displaystyle P(X=4)=\binom{9}{4}\,0,25^{4}\cdot 0,75^{9-4}$
    $\approx 0,1168$
    $\approx 1$
$\square$

g)
$\displaystyle P(3 < X \le 6)=P(X \le 6)-P(X < 3)$     $=P(X \le 6)-P(X \le 2)$

    $=\sum_{i=0}^{6}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}-\sum_{i=0}^{2}\,\binom{9}{i}\,0,25^{i}\cdot 0,75^{9-i}$
    $\approx 0,3980$
$\square$

[nota del autor]

En una partida de quinientas linternas, la duración de las mismas sigue un modelo normal ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una partida de cinc-centes llanternes, la durada d'aquestes segueix un model normal; amb una mitjana de vuitanta hores i una desviació estàndard de dues hores. Quantes cal esperar que durin entre setanta-cinc hores i vuitanta-dues hores ?

Resolució:
És obvi que la variable aleatòria temps de vida útil d'una llanterna $X$ segueix una distribució normal. I, donats els paràmetres: $\mu=80 \, \text{h}$ i $\sigma=2 \, \text{h}$, és clar que $X \sim N(80 \, , \, 2)$

Llavors, ens proposem calcular
$P(75 \le X \le 82)$
que és igual a
$P(X \le 82)-P(X \le 75)$

Fent l'estandarització
$Z=\dfrac{X-80}{2}$
passem a treballar, de forma equivalent, amb una distribució $N(0,1)$

Per això, calculem els valors de les fites corresponents a $Z$:
Si $x=82$, $z=\dfrac{82-80}{2}=\ldots=1$
Si $x=75$, $z=\dfrac{75-80}{2}=\ldots=-2,5$

Finalment,
$P(75 \le X \le 82)=P(-2,5 \le Z \le 1)$
    $=F(1)-\big(1-F(2,5)\big)$     (per les propietats de simetria de la funció de densitat del model normal )
és a dir
    $=F(1)+F(2,5)-1$

I, consultant les taules, trobem
$F(1)=0,8413$
$F(2,5)=0,9798$

amb la qual cosa arribem al següent resultat per a la probabilitat
$P(75 \le X \le 82) = \ldots = 0,8211$     ( amb 4 xifres significatives )

I, finalment, a partir de la interpretació estadística de la probabilitat, determinem el nombre de llanternes $n$ que s'espera que la seva vida útil estigui fitada entre els valors donatses

$n = 500 \cdot 0,8211 \approx 410 \; \text{llanternes}$

$\square$

[nota del autor]

La distribución de probabilidad hipergeométrica ... ( Artículo escrito en catalán )

El model de variable aleatòria hipergeomètrica és un model de v.a. discreta que dóna la solució al següent problema.

Considerem el problema d'extreure $n$ boles sense reemplaçament d'una urna on hi ha $N$ boles de colors, $m$ de les quals són blanques ( $ N \ge m $ ). Quant val la probabilitat que hi hagi
$k$ boles blanques ( $k \le n$ ) entre les $n$ boles que hem tret de la urna ?

D'acord el tipus de problema (combinacions ordinàries), al principi multiplicatiu, i al principi de Laplace (per assignar probabilitats probabilitats a successos igualment probables), entenem que la variable aleatòria $X$ (nombre de boles blanques que apareixen a l'extracció de les $n$ boles) pren valors en el conjunt $\{0,1,2,\ldots,m \}$ podem escriure

$\displaystyle P(X=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\,\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Es demostra que els paràmetres d'aquest model de v.a. són

Esperança de $X$:
$\displaystyle \mu = \dfrac{n\,m}{N}$

Variància de $X$:
$\displaystyle \sigma^2 = \dfrac{n\,m\,(N-n)\,(N-m)}{N^2\,(N-1)}$

Exemple 1

Enunciat:
En una urna hi ha deu boles de colors, entre les quals n'hi ha quatre de color blanc. Extraiem set boles a la vegada ( que és equivalent a treure-les una a una, però sense reemplaçar-les a mesura que les anem traient ). Quant val la probabilitat que entre aquestes set boles n'hi hagi tres de blanques ?

Resolució:
De l'expressió general
$\displaystyle P(X=k)=\dfrac{\binom{m}{k}\,\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
tenint en compte que
$N=10$
$m=4$
$n=7$
$k=3$
calculem directament
$\displaystyle P(X=3)=\dfrac{\binom{4}{3}\,\binom{10-4}{7-3}}{\binom{10}{7}}=\ldots=\dfrac{1}{2}$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de cálculo de probabilidades ... ( Artículo escrito en catalán )

Exercici 1:
En un edifici de set plantes coincideixen dues persones a la porta de l'ascensor d'una determinada planta. Calculeu la probabilitat que:
    a) no vagin a la mateixa planta
    b) vagin a la mateixa planta

      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

Exercici 2:
En un institut, el 30% dels alumnes són noies. Sabem que el 60% de les noies practiquen algun esport; i el 70% dels nois, també. S'escull un alumne (noi o noia) a l'atzar. Calculeu la probabilitat que:
    a) practiqui algun esport
    b) l'alumne sigui un noi, sabent que aquest practica algun esport

      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

Exercici 3:
Considereu una variable aleatòria $X \sim N(10\,,\,4)$. Calculeu la probabilitat que no prengui cap valor a l'interval $\left[6\,,\,11\right] \in \mathbb{R}$

      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

Exercici 4:
Buidem sobre una taula un sac amb sis-centes monedes. Calculeu la probabilitat que apareguin entre tres-centes i quatre-centes cares.

      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

Exercici 5:
Considereu tots els nombres naturals més grans o bé iguals que cent, i més petits o bé iguals que nous-cents noranta-nou. Escollim un d'aquests nombres a l'atzar. Calculeu la probabilitat que sigui:
    a) divisible per cinc
    b) divisible per dos

      [Resolució (no mireu la resolució abans d'intentar fer l'exercici)]

Resolució de l'exercici 1:
a)     En agafar l'ascensor dues persones en una mateixa planta d'un edifici, una de les dues (qui primer primer marqui el número de la planta on vol anar) pot escollir sis plantes com a destinació ( no pas set, perquè és absurd que esculli la mateixa planta on es troba ); llavors, com que té absoluta llibertat per escollir les sis opcions restants, la probabilitat que es demana (que les dues persones no coincideixin en l'elecció de la planta on volen anar) vindrà donada per les possibilitats efectives que li queden a l'altra persona, tenint en compte – tinguem-ho ben present - que suposem que no trien la mateixa; i, és clar que només en podrà escollir cinc (d'un total de sis, també), atès que cal descomptar-ne una (la que ja ha triat el seu company). Per tant, la probabilitat que no vagin a la mateixa planta és igual a $5/6$.

Vist des d'una manera alternativa: fent ús del principi de Laplace, un dels ocupants de l'ascensor (el primer que escull) té sis possibilitats per decidir la planta on vol anar (d'un total de sis); el seu company, en té cinc (no pot triar la mateixa), entre un total de sis, també. Llavors, fent ús del principi multiplicatiu, la probabilitat que no vagin a la mateixa planta ha de ser igual a
        $\dfrac{6}{6} \cdot \dfrac{5}{6}$
és a dir
        $\dfrac{5}{6}$
$\square$

b)     Ara, es demana la probabilitat del succés contrari (que vagin a la mateixa planta), que és igual
        $1-\dfrac{5}{6}$
és a dir
        $\dfrac{1}{6}$
$\square$

Resolució de l'exercici 2:
a)     Designem amb la lletra H, el succés "escollir un noi"; amb la lletra D, el succés "escollir una noia"; i amb la lletra E, al succés "escollir una persona que persona que practiqui algun esport".

A partir de la informació de l'enunciat, podem escriure el valor de les següents probabilitats:
    $P(H)=\dfrac{7}{10}$
    $P(D)=\dfrac{3}{10}$
    $P(E|H)=\dfrac{7}{10}$
    $P(E|D)=\dfrac{3}{5}$

Llavors, d'acord amb el teorema de la probabilitat total, podem escriure
$P(E)=P(E|H)\,P(H)+P(E|D)\,P(D)$
    $=\dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{10}$
    $=\ldots=67 \, \%$
$\square$

b)     D'acord amb el teorema de Bayes

$P(H|E)=\dfrac{P(E|H)\,P(H)}{P(E)}$
    $=\dfrac{\frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10}}{\frac{67}{100}}$

    $=\frac{49}{67}$

    $\approx 73 \, \%$

$\square$

Resolució de l'exercici 3:
Com que $P(6 \le X \le 11)$ és la probabilitat que $X$ prengui valors dins l'interval $\left[6\,,\,11\right]$, llavors la probabilitat que prengui valors fora de l'interval és igual a $1-P(6 \le X \le 11) \quad \quad (1)$

$P(6 \le X \le 11)=P(X \le 11)-P(X \le 6) \quad \quad (2)$
Per poder emprar les taules de la distribució $N(0,1)$ fem l'estandarització de la variable mitjançant el canvi
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
i, donats els valors dels paràmetres $\mu=10$ i $\sigma=4$, calcularem tot seguit el valor dels límits de l'interval per a la nova variable

Si $X=6$
$Z=\dfrac{6-10}{4}$
  $=-1$

Si $X=11$
$Z=\dfrac{11-10}{4}$
  $=0,25$

Llavors,
$P(X \le 11)=P(Z \le 0,25)$
i consultant les taules $N(0,1)$ trobem que és igual a
  $=F(0,25) \approx 0,5987 \, \text{4 x.s.}$

$P(X \le 6)=P(Z \le -1)$
i, per les propietats de la funció de densitat de probabilitat de Gauss, és igual a
  $=1-P(Z \le 1)$
  $=1-F(1)$
Consultant les taules $N(0,1)$ trobem
$F(1) \approx 0,8413 \, \text{4 x.s.}$
amb la qual cosa
$1-F(1) \approx 0,1587 \, \text{4 x.s.}$

Finalment, de (2)
$P(6 \le X \le 11)$
    $\approx 0,44$
amb la qual cosa, de (1), trobem que la probabilitat que $X$ prengui valors fora de l'interval és igual a $1-0,44=0,56$
és a dir, del $56 \, \text{\%}$

$\square$

Resolució de l'exercici 4:
La variable aleatòria $X$ d'aquest problema representa el nombre de cares que surten en abocar el sac de monedes; és, per tant, una variable discreta i pren valors en el conjunt $\{0,1,2,\ldots ,600\}$

Per les característiques de l'experiència aleatòria, $X$ s'adequa a un model binomial $B(n,p)$, amb $n=600$ ( sis-centes realitzacions ) amb probabilitat d'èxit (sortir cara en una realització) $p=0,5$ i probabilitat de fracàs $q=1-p$ igual a $0,5$ car suposem que les monedes són equilibrades

Se'ns demana que calculem $P(300 \le X \le 400)=P(X \le 400) - P(X < 300)$. Les dificultats de càlcul són evidents; per això, farem ús de l'aproximació del model binomial $B(600\,,\,0,5)$ per un model normal $N(\mu \,,\,\sigma)$, amb $\mu=n\,p$ i per tant igual a $300$, i $\sigma=\sqrt{n\,p\,q} \approx 12,2474$. Val a dir que podem fer l'aproximació, atès que ni $p$ ni $q$ no tendeixen a zero o a u i es compleix el criteri $n\,p > 5$; en efecte $n\,p = 600 \cdot 0,5 = 300 >5$.

Llavors, i afegint les correccions de Yates, podrem escriure les igualtats aproximades:
$P(X \le 400) \approx P(X^{'} \le 400,5) \quad \quad (1)$
$P(X < 300) \approx P(X^{'} \le 299,5) \quad \quad (2)$

on $X \sim B(600 \,,\, 0,5)$
i
$X^{'} \sim N(300 \,,\, 12,2474)$

Per calcular (1) i (2) fent ús de les taules de la d. normal $Z \sim N(0,1)$, cal fer el canvi de variable
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$     [ recordem que $\mu=300$ i que $\sigma=12,247$ ]
i, calculant el valor dels límits dels intervals per a $Z$, trobem
A $X^{'}=400,5$ li correspon un valor de $Z$ igual a $8,2058$
A $X^{'}=299,5$ li correspon un valor de $Z$ igual a $-0,0408$
Llavors,
$P(X^{'}\le 400,5)\approx P(Z \le 8,2058) \approx 1,0000$     ( taules $N(0,1)$ )
i
$P(X^{'}\le 299,5)\approx P(Z \le -0,0408)$     ( taules $N(0,1)$ )
i, doncs, ens queda
  $=1-P(Z \le 0,0408)$     ( per la simetria de la funció de densitat de probabilitat del model de Gauss )
  $= 1-\approx 0,5160$
  $= 0,4840$

I - acabant - la probabilitat demanada que hem començat expressant de la forma
$P(300 \le X \le 400)$ i que, com ja hem dit, segons l'aproximació del model binomial (discret) pel model de Gauss (continu) que hem fet amb la finalitat de facilitar el càlcul, és igual aproximadament a
$P(X^{'}\le 400,5)-P(X^{'}\le 299,5)$
  $=1-0,4840$
és a dir, d'un
$51,6 \, \%$
$\square$

Resolució de l'exercici 5:
a)     Hi ha $180$ múltiples de cinc en el conjunt de nombres
    $\{ 100 \le n \le 999 \, \quad \text{on} \; n\in \mathbb{N}\}$
i, $900$ nombres en total.

En efecte, calculem el nombre de múltiples de cinc fent ús del principi
multiplicatiu: nou possibilitats per escollir la xifra de les centenes (no podem escollir el zero, car seria un nombre inferior a $100$ ), deu possibilitats ( alguna de les xifres $\{0,1,2,\ldots,9\}$ ) per escollir la xifra de les desenes, i dues per escollir la de les unitats (tan sols pot ser un zero o bé un cinc, si hem de construir nombres múltiples de cinc); per tant, tenim $9\cdot 10 \cdot 2 = 180$ nombres múltiples de cinc, i $9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$ nombres en total, car podem escollir les xifres de les unitats i de les desenes de deu maneres possibles ( alguna de les xifres $\{0,1,2,\ldots,9\}$ ), llevat de la xifra de les centenes, que només ho podem fer de nou (recordem que no podem triar el zero).

Llavors, la probabilitat d'escollir (a l'atzar) un nombre que sigui múltiple de cinc entre els nou-cents nombres és igual (pel principi de Laplace) a
    $\dfrac{180}{900}$
que, simplificada, queda
    $\dfrac{1}{5}$
    $=20 \, \\%$
$\square$

a)     Hi ha $450$ múltiples de dos (nombres parells) en el conjunt de nombres     $\{ 100 \le n \le 999 \, \quad \text{on} \; n \in \mathbb{N}\}$
i, $900$ nombres en total.

Per tant, la probabilitat de triar, a l'atzar, un nombre parell entre els nou-cents nombres esmentats és igual a $\frac{1}{2}$
    $=50 \,\%$
$\square$

[nota del autor]