Enunciat:
Calculeu el valor dels angles i l'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C, sabent que
a=7 \text{cm}
b=8 \text{cm}
c=13 \text{cm}
Resolució:
Del teorema del cosinus
a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos(\alpha)
tenim que
\alpha = \arccos \Bigg( \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}\Bigg)
= \arccos \Bigg( \dfrac{8^2+13^2-7^2}{2 \cdot 8\cdot 13}\Bigg)\approx 27º\,47^{'}\,44,78^{''}
[serà útil emmagatzemar aquest resultat en una memòria de la calculadora ( 27º \,47^{'}\,44,78^{''} \rightarrow \text{Mem} ), per poder fer-ne ús en els càlculs que segueixen ]
Tenint en compte el teorema del sinus
\dfrac{\sin{\alpha}}{a}=\dfrac{\sin{\beta}}{b}=\dfrac{\sin{\gamma}}{c}
podem escriure
\dfrac{\sin{\alpha}}{7}=\dfrac{\sin{\beta}}{8}
[recordem que tenim a la memòria de la calculadora el valor que hem calculat de l'angle \alpha ]
llavors
\beta=\arcsin{\Big(\dfrac{8}{7}\,\sin\big(\alpha\leftarrow\text{Mem}\big)\Big)}
\approx 32º\,12^{'}\,15,22^{''}
El tercer angle \gamma el calculem tenint en compte que la suma dels tres angles ha de ser igual a 180º
\gamma=180º-(\alpha+\beta)
=120º
Per acabar, calculem l'àrea del triangle
\text{Àrea}=\dfrac{1}{2}\,c\,h \quad \quad \quad (1)
on h representa la longitud del segment perpendicular a c que passa pel vèrtex C.
Si ens fixem amb el triangle rectangle AC'C calculem el valor de h fent
h=b \, \sin(\alpha)
=8 \cdot \sin\big(\alpha \leftarrow \text{Mem}\big)
Substituint això en (1)
\text{Àrea}=\ldots \approx 24 \, \text{cm}^2
\square
