Enunciat:
Calculeu el valor dels angles i l'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C, sabent que
$a=7 \text{cm}$
$b=8 \text{cm}$
$c=13 \text{cm}$
Resolució:
Del teorema del cosinus
$a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos(\alpha)$
tenim que
$\alpha = \arccos \Bigg( \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}\Bigg)$
$= \arccos \Bigg( \dfrac{8^2+13^2-7^2}{2 \cdot 8\cdot 13}\Bigg)\approx 27º\,47^{'}\,44,78^{''}$
[serà útil emmagatzemar aquest resultat en una memòria de la calculadora ( $27º \,47^{'}\,44,78^{''} \rightarrow \text{Mem}$ ), per poder fer-ne ús en els càlculs que segueixen ]
Tenint en compte el teorema del sinus
$\dfrac{\sin{\alpha}}{a}=\dfrac{\sin{\beta}}{b}=\dfrac{\sin{\gamma}}{c}$
podem escriure
$\dfrac{\sin{\alpha}}{7}=\dfrac{\sin{\beta}}{8}$
[recordem que tenim a la memòria de la calculadora el valor que hem calculat de l'angle $\alpha$ ]
llavors
$\beta=\arcsin{\Big(\dfrac{8}{7}\,\sin\big(\alpha\leftarrow\text{Mem}\big)\Big)}$
$\approx 32º\,12^{'}\,15,22^{''}$
El tercer angle $\gamma$ el calculem tenint en compte que la suma dels tres angles ha de ser igual a $180º$
$\gamma=180º-(\alpha+\beta)$
$=120º$
Per acabar, calculem l'àrea del triangle
$\text{Àrea}=\dfrac{1}{2}\,c\,h \quad \quad \quad (1)$
on $h$ representa la longitud del segment perpendicular a $c$ que passa pel vèrtex C.
Si ens fixem amb el triangle rectangle AC'C calculem el valor de $h$ fent
$h=b \, \sin(\alpha)$
$=8 \cdot \sin\big(\alpha \leftarrow \text{Mem}\big)$
Substituint això en (1)
$\text{Àrea}=\ldots \approx 24 \, \text{cm}^2$
$\square$
