Enunciat:
Determineu
$\sqrt{1+i} \in \mathbb{C}$
Resolució:
S'haurà de complir que
$1+i=(x+i\,y)^2$
desenvolupant el quadrat del binomi del segon membre
$1+i=x^2-y^2+2\,x\,y \, i$
Igualant les parts real i imaginària
$\left.\begin{matrix} x^2-y^2=1 \\ 2\,x\,y=1 \end{matrix}\right\}$
Aïilant $y$ de la segona equació i substituint l'expressió resultant en la primera equació obtenim
$4\,x^4-4\,x^2-1=0$
equació biquadrada que transformem en una equació de 2n grau mitjançant el canvi de variable $x^2=t$
$4\,t^2-4\,t-1=0$
obtenint com a resultats de $t$
$t=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+\left|\sqrt{2}\right|}{2} > 0 \quad \quad \quad (1) \\\\\dfrac{1-\left|\sqrt{2}\right|}{2}<0 \quad \quad \quad (2)\end{matrix}\right.$
Desfent el canvi de variable $x=\sqrt{t}$, trobarem els valors de $x$ (que no hem d'oblidar que han de ser nombres reals, circumstància que ens fa descartar el valor (2) per a $t$, tenint en compte únicament el valor (1) ) i, tot seguit, els de $y$, atès que
$y=\dfrac{1}{2\,x}$
llavors,
$x=\left\{\begin{matrix} \left|\sqrt{\dfrac{1+\left|\sqrt{2}\right|}{2}}\right| \Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\,\left|\sqrt{\dfrac{2}{1+\left|\sqrt{2}\right|}}\right| \\ \\-\left|\sqrt{\dfrac{1+\left|\sqrt{2}\right|}{2}}\right| \Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}\,\left|\sqrt{\dfrac{2}{1+\left|\sqrt{2}\right|}}\right| \end{matrix}\right.$
i concloem que
$\sqrt{1+i}=\left\{\begin{matrix} \left|\sqrt{\dfrac{1+\left|\sqrt{2}\right|}{2}}\right|+\dfrac{1}{2}\,\left|\sqrt{\dfrac{2}{1+\left|\sqrt{2}\right|}}\right|\,i \\ \\-\left|\sqrt{\dfrac{1+\left|\sqrt{2}\right|}{2}}\right|-\dfrac{1}{2}\,\left|\sqrt{\dfrac{2}{1+\left|\sqrt{2}\right|}}\right|\,i \end{matrix}\right.$
que també podem expressar d'una manera més compacta de la forma
$\sqrt{1+i}=\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2}\,\left|\sqrt{2\,\big(\left|\sqrt{2}\right|+1\big)}\right|+\dfrac{1}{2}\,\left|\sqrt{2\,\big(\left|\sqrt{2}\right|-1\big)}\right|\,i \\ \\-\dfrac{1}{2}\,\left|\sqrt{2\,\big(\left|\sqrt{2}\right|+1\big)}\right|-\dfrac{1}{2}\,\left|\sqrt{2\,\big(\left|\sqrt{2}\right|-1\big)}\right|\,i \end{matrix}\right.$
$\square$
