Enunciat:
En una urna hi ha vint boles, de les quals vuit són blanques i la resta són negres. Extraiem a l'atzar quinze boles, successivament i amb reemplaçament. Quant val la probabilitat que, d'aquestes quinze boles que hem tret, almenys vuit siguin blanques ?
Resolució:
Els possibles valors de la variable aleatòria $X$ (nombre de boles blanques que han aparegut en les quinze realitzacions ) són $\{0,1,2,3,\ldots,15\}$. La prªobabilitat $p$ que en una extracció surti una bola blanca (probabilitat d'èxit) és igual a $8/20$, és a dir, $\frac{2}{5}$; i la probabilitat de fracàs (que surti una bola negra) és, per tant, igual a $\frac{3}{5}$
Es tracta, doncs, d'un problema de variable aleatòria discreta $X$ que segueix el model binomial $B(n, p)$, amb $n=15$ i $p=2/5$ ( probabilitat d'èxit )
La probabilitat demanada (que almenys hi hagi vuit boles blanques entre les quinze boles que hem tret) es pot expressar de la forma
$\displaystyle \sum_{i=8}^{15}\,P(X=i)$
que és el mateix que
$P(X \ge 8)$
i que ha de ser igual a
$1-P(X \le 7)$
A continuació, calcularem el valor d'aquesta expressió i, per això, és molt convenient que fem servir l'aproximació del model binomial pel model normal (de Gauss), atès que d'aquesta manera, els càlculs (amb les taules de la funció de distribució d'aquest model) seran ràpids i senzills.
Primer de tot, però, cal comprovar que es compleixen les condicions per tal que puguem fer aquesta aproximació:
és a dir, que $p$ ( i $q$ ) no siguin ni massa propers a zero ni a u; i, per altra banda, cal que $n\,p > 5$.
Trobem que sí, efectivament, podem fer servir l'aproximació
$X \sim B(n,p)$ per $X^{'} \sim N(n\,p \; , \; \sqrt{n\,p\,q})$
atès que $p = 0,4$ i $n \, p = 15 \cdot 0,4 = 6 > 5$
Calculem, doncs, $P(X \le 7)$
$P(X \le 7) \approx P(X^{'} \le 7+0,5 $ (correcció de Yates)
i fent el canvi
$Z=\dfrac{X^{'}-\mu}{\sigma}$
on
$\mu=n \,p = 6$
i
$\sigma=\sqrt{n\,\,p\,q} \approx 1,8974$
passem a treballar, de forma equivalent, amb una v.a. $Z \sim N(0,1)$ i, per tant, podrem fer servir les taules de la funció de distribució $F(z)$
Calculem el valor de la fita per a $Z$:
Si $x^{'}=7,5$ trobem que
$z=\dfrac{7,5-6}{1,8974}\approx 0,7906$
Llavors, consultant les taules trobem
$F(0,79)=0,7852$
$F(0,80)=0,7881$
d'on, per interpolació lineal, obtenim
$F(0,7906)=\ldots=0,7854$
És a dir
$P(X^{'}\le 7,5)=P(Z \le 0,7906) \approx 0,7854$
i, per tant, finalment, recodem que
$P(X \ge 8) \approx 1-P(X^{'} \le 7,5)$
que és igual a $0,2146$
$\square$
