1. Resoleu l'equació $2^{7x-4}=512$
Com que $512$ es pot escriure com una potència de base $2$
$512=2^9$
l'equació es pot escriure de la forma
$2^{7x-4}=2^9 \Rightarrow 7x-4=9$
d'on trobem que
$x=\dfrac{13}{7}$
$\square$
2. Trobeu els nombres reals que satisfan la igualtat $3^{x^2-3x+3}=1$
El segon membre es pot escriure com la potència de base tres $3^0$; per tant, l'equació queda
$3^{x^2-3x+3}=3^0 \Rightarrow x^2-3x+3=0$
Si resolem aquesta equació algèbrica no trobem nombres reals com a solució
$x=\dfrac{3 \pm \sqrt{-3}}{2} \notin \mathbb{R}$
$\square$
3. Resoleu l'equació $5^x=6$
Traient logaritmes a cada membre de la igualtat
$\ln{5^x}=\ln{6}$
i, per les propietats dels logaritmes, podem escriure
$x\,\ln{5}=\ln{6}$
d'on, aïllant la variable, trobem
$x=\dfrac{\ln{6}}{\ln{5}} \approx 1,1133$
$\square$
4. Resoleu l'equació $\quad \log{(x+1)}+\log{(x-1)}=2\,\log{(x+1)}$
Agrupant els termes semblants i simplificant, la podem posar de la forma
$\log{(x+1)}+\log{(x-1)}=0$
i, per les propietats dels logaritmes, podem escriure-ho de la forma
$\log{(x+1)\cdot \log{(x-1)}}=0 \Leftrightarrow (x+1)\cdot (x-1)=10^{0}$
és a dir
$(x+1)\cdot (x-1)=1$
equació polinòmica de 2n grau que, simplificada, es pot escriure també de la forma
$x^2-1=1$
que, resolta, porta a
$x=\pm |\sqrt{2}|$
d'aquest dos valors, però, tan sols ens interessa el positiu
$\left|\sqrt{2}\right|$
atès que a l'equació original, essent negatiu l'argument, els logaritmes no estarien definits.
$\square$
5. Resoleu l'equació $\quad 3\,\log_{2}{5}+\log_{2}{25}=\log_{2}{x}$
Fent ús de les propietats dels logaritmes, podem escriure l'equació de la manera següent
$3\,\log_{2}{5}+2\,\log_{2}{5}=\log_{2}{x}$
que queda
$5\,\log_{2}{5}=\log_{2}{x}$
d'on
$\log_{2}{5^5}=\log_{2}{x} \Leftrightarrow x=5^5$
$\square$
6. Resoleu l'equació $\quad 3\,\log_{3}{27}-\log_{3}{x}=2$
Com que $\log_{3}{27}=\log_{3}{3^3}=3$ podrem escriure l'equació donada de la forma
$3^2-\log_{3}{x}=2$
que equival a
$\log_{3}{x}=7 \Leftrightarrow x=3^7$
$\square$
7. Calculeu el valor de $x$, mostrant el seu valor aproximat amb cinc xifres significatives $\quad \log_{2}{x}=\log_{3}{5}$
Primer de tot, expressem ambdós membres de la igualtat amb la mateixa base logarítmica (per exemple, en base $e$):
$\log_{2}{x}=\dfrac{\ln{x}}{\ln{2}}$
$\log_{3}{5}=\dfrac{\ln{5}}{\ln{3}}$
Fet això, l'equació original es pot escriure així
$\dfrac{\ln{x}}{\ln{2}}=\dfrac{\ln{5}}{\ln{3}}$
que, aïllant $\ln{x}$, queda
$\ln{x}=\ln{2} \cdot \dfrac{\ln{5}}{\ln{3}}$
i per la propietat fonamental
$x=e^{\frac{\ln{2} \cdot \ln{5}}{\ln{3}}} \approx 2,7606 \quad \text{(5 x.s.)}$
$\square$
8. Resoleu l'equació $\quad \log{(x+\sqrt{3})}+\log{(x-\sqrt{3})}=0$
Per les propietats dels logaritmes, escriurem l'equació equivalent
$\log{\big((x+\sqrt{3})\cdot (x-\sqrt{3})\big)}=0$
i, atès que la base del logaritme és igual a $10$, s'haurà de complir que
$(x+\sqrt{3})\cdot (x-\sqrt{3})=10^0$
és a dir
$x^2-3=1$
d'on trobem que
$x=\pm 2$
d'aquest dos valors, però, tan sols ens interessa el positiu
$x=2$
atès que a l'equació original, essent negatiu l'argument, els logaritmes no estarien definits.
$\square$
9. Resoleu l'equació $\quad 2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=49$
Si anomenem $t$ a $2^{x-1}$
podrem escriure l'equació d'una forma molt més senzilla
$4t+2t+t=49$
és a dir
$7t=49$
per tant
$t=7$
I, finalment, desfent el canvi de nom
$7=2^{x-1}$
d'on aïllem $x$ traient logaritmes en tots dos membres d'aquesta igualtat
$\ln{7}=\ln{\big(2^{x-1}\big)}$
atès que, per les propietats dels logaritmes, queda
$(x-1) \, \ln{2} = \ln{7}$
per tant
$x= \dfrac{\ln{7}}{\ln{2}}+1 \approx 3,8074 \, \text{(5 x.s.)}$
$\square$
10. Resoleu l'equació $5^{2x+1}=75$
Traient logaritmes de cada un dels dos membres, i fent ús de la propietat del logaritme d'una potència, podem escriure l'equació equivalent
$(2x+1)\,\ln{5}=\ln{75}$
i d'aquí, aïllant $x$, arribem a la solució
$x=\dfrac{\dfrac{\ln{75}}{\ln{5}}-1}{2} \approx 0,84130 \, \text{(5 x.s.)}$
$\square$
11. Resoleu l'equació $\sqrt{2^{-x+6}}=\dfrac{1}{4}$
Expressant el radical del primer membre en forma de potència d'exponent racional podrem escriure
$2^{( \frac{-x+6}{2})}=\frac{1}{4}$
I traient logaritmes en cada un dels membres
$\big(\dfrac{-x+6}{2}\big)\,\ln{2}=\ln{\dfrac{1}{4}}$
El segon membre $\ln{\frac{1}{4}}$ és igual a $\ln{1}-\ln{4}$, i com que $\ln{1}=0$ queda igual a $-\ln{4}$; llavors, tornant a escriure l'equació, havent fet aquesta simplificació:
$\dfrac{x-6}{2}=\dfrac{\ln{4}}{\ln{2}}$
Per altra banda, observem que
$\dfrac{\ln{4}}{\ln{2}}=\dfrac{2 \cdot\ln{2}}{\ln{2}}=2$
amb la qual cosa, podem simplificar encara més l'equació
$\dfrac{x-6}{2}=2$
d'on, aïllant $x$ trobem
$x=10$
$\square$
12. Resoleu el sistema donat per les següents equacions:
$\left.\begin{matrix} \log{x} + \log{y} = 3\\ \\ 2\,\log{x} - \log{y} = 4\\ \end{matrix}\right\}$
Sumant, membre a membre, ambdues equacions aconseguim una equació que únicament depèn de la variable $x$
$3\,\log{x}=7$
d'on trobem
$x=10^{\frac{7}{3}} \approx 215,44 \, \text{(5 x.s.)}$
Substituint aquest resultat a la primera equació
$\log{10^{\frac{7}{3}}}+\log{y}=3$
Com que
$\log{10^{\frac{7}{3}}}=\dfrac{7}{3} \cdot \log{10}$
i
$\log{10}=1$ (atès que la base del logaritme és igual a l'argument d'aquest), l'equació anterior ens queda
$\dfrac{7}{3}+\log{y}=3$
Aïllant el logaritme arribem a
$\log{y}=3-\dfrac{7}{3}$
i fent l'operació del 2n membre
$\log{y}=\dfrac{2}{3}$
d'on, per la propietat fonamental
$y=10^{\frac{2}{3}} \approx 4,6416 \, \text{(5 x.s.)}$
$\square$
13. Resoleu l'equació $3\,\ln{(x-1)}-\ln{(x^2-1)}=-\ln{(3)}$
Si fem ús de les propietats dels logaritmes, l'equació que ens donen es pot escriure de la forma
$\ln{\Bigg(\dfrac{(x-1)^3}{x^2-1}\Bigg)}=-\ln{(3)}$
i, com que
$-\ln{(3)}=\ln{\big(\dfrac{1}{3}\big)}$
ens queda
$\ln{\Bigg(\dfrac{(x-1)^3}{x^2-1}\Bigg)}=\ln{\big(\dfrac{1}{3}\big)}$
llavors, els arguments dels logaritmes de cada membre han de ser iguals
$\dfrac{(x-1)^3}{x^2-1}=\frac{1}{3}$
reduint a comú denominador, expandint la potència del binomi d'exponent igual a 3, i simplificant, arribem a la següent equació
$3\,x^3-10\,x^2+9x-2=0$
que podem resoldre pel teorema del residu (tema de polinomis), obtenint les següents solucions
$x_1=1$
$x_2=2$
$x_3=\frac{1}{3}$
No obstant, la única solució vàlida - per a l'equació original - és la segona x=2; això és així perquè les altres dues ("1/3" i "1"), porten a logaritmes que no estan definits o bé que es disparen a l'infinit; per veure-ho, substitueix aquests altres dos valors a l'equació original i, entre els termes de l'equació, et trobaràs que "1/3" comporta un logaritme d'argument negatiu (que, com ja saps, no està definit); i "1", un logaritme d'argument igual a zero (que dóna .
menys infinit).
$\square$
