Enunciat:
Determineu l'equació de la circumferència que passa pels punts
P(-1,0), Q(0,2) i R(1,-1)
Resolució:
Anomenant $r$ al radi de la circumferència, i $x$ i $y$ a les coordenades del centre $C$ de la circuferència, es complirà que la distància euclidiana entre el centre de la circumferència i cada un d'aquest punts ha de ser igual al valor del radi $r$; per tant, d'acord amb el teorema de Pitàgores s'haurà de complir
$\left.\begin{matrix}\big(x-(-1)\big)^2+(y-0)^2=r^2\\(x-0)^2+(y-2)^2=r^2\\(x-1)^2+\big(y-(-1)\big)^2=r^2\end{matrix}\right\}$
Resolem el sistema. Tenint en compte que els segons membres de totes tres equacions són igual a $r^2$, igualarem la primera amb la segona i la segona amb tercera
$\left.\begin{matrix}x^2+y^2+2\,x+1=x^2+y^2-4\,y+4\\x^2+y^2-4\,y+4=x^2+y^2-2\,x+2\,y+1 \end{matrix}\right\}$
Simplificant
$\left.\begin{matrix}2\,x+4\,y=3\\2\,x-6\,y=-2 \end{matrix}\right\}$
sistema que té com a solució
$x=y=\dfrac{1}{2}$
El centre de la circumferència és, per tant, el punt
$C\Big(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\Big)$
A continuació, calcularem el valor del radi $r$; per això, tan sols cal substituir els valors que hem trobat de $x$ i $y$ en una qualsevol de les tres equacions (per exemple, a la segona)
$\big(\dfrac{1}{2}-0\big)^2+\big(\dfrac{1}{2}-2\big)^2=r^2$
i, d'aquí
$r=\left|\sqrt{\dfrac{5}{5}}\right|$
Per tant, la circumferència del problema ve descrita per la següent equació
$\text{C:}\,\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)^2+\Big(y-\dfrac{1}{2}\Big)^2=\dfrac{5}{2}$
