En un examen de oposición participan hombres y mujeres en una proporción de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
En una oposició hi participen homes i dones en la proporció 4 a 5. La probabilitat que aprovi un home és de $0,75$, i que aprovi una dona, de $0,8$. Us demanem:
    a) La probabilitat que, una d'aquestes persones escollida l'atzar, estigui aprovada
    b) Sabent que una persona ha aprovat, calculeu la lprobabilitat que sigui una dona

Resolució:
a)
Designem amb la lletra $A$ el succés "un opositor aprovat"; amb la lletra $H$, el succés "un opostor que sigui un home"; amb la lletra $D$, "un opositor que sigui una dona".

D'acord amb l'enunciat, la probabilitat que un opositor escollit a l'atzar sigui un home és de $P(H)=4/9$, i que sigui una dona, $P(D)=5/9$

Llavors, pel teorema de la probabilitat total
$P(A)=P(A|H)\cdot P(H)+P(A|D)\cdot P(D)$

Tenint en compte (enunciat) que
$P(A|H)=0,75$
$P(A|D)=0,8$

$P(A)=0,75 \cdot \dfrac{4}{9}+0,8\cdot \dfrac{5}{9}$
    $=\dfrac{7}{9}$

$\square$

b)
Pel teorema de Bayes

$P(D|A)=\dfrac{P(A|D)\cdot P(D)}{P(A)}$
    $=\dfrac{4/9}{7/9}$
    $=\dfrac{4}{7}$

$\diamond$