Enunciat:
En una oposició hi participen homes i dones en la proporció 4 a 5. La probabilitat que aprovi un home és de $0,75$, i que aprovi una dona, de $0,8$. Us demanem:
a) La probabilitat que, una d'aquestes persones escollida l'atzar, estigui aprovada
b) Sabent que una persona ha aprovat, calculeu la lprobabilitat que sigui una dona
Resolució:
a)
Designem amb la lletra $A$ el succés "un opositor aprovat"; amb la lletra $H$, el succés "un opostor que sigui un home"; amb la lletra $D$, "un opositor que sigui una dona".
D'acord amb l'enunciat, la probabilitat que un opositor escollit a l'atzar sigui un home és de $P(H)=4/9$, i que sigui una dona, $P(D)=5/9$
Llavors, pel teorema de la probabilitat total
$P(A)=P(A|H)\cdot P(H)+P(A|D)\cdot P(D)$
Tenint en compte (enunciat) que
$P(A|H)=0,75$
$P(A|D)=0,8$
$P(A)=0,75 \cdot \dfrac{4}{9}+0,8\cdot \dfrac{5}{9}$
$=\dfrac{7}{9}$
$\square$
b)
Pel teorema de Bayes
$P(D|A)=\dfrac{P(A|D)\cdot P(D)}{P(A)}$
$=\dfrac{4/9}{7/9}$
$=\dfrac{4}{7}$
$\square$
