Un ejercicio sobre ecuaciones no polinómico un tanto laborioso, pero muy interesante

En la misma línea que el artículo precedente, vamos a resolver (en el conjunto de los números reales) la siguiente ecuación con términos irracionales: $$x+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4$$

En primer lugar, teniendo en cuenta que intervienen raíces cuadradas en los términos algebraicos, tendremos en cuenta el dominio de definición de las mismas: del segundo término del primer miembro vemos que el valor de $x-1$ ha de ser mayor no negativo, esto es, $x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$; en cuanto al segundo término, $x+1$ también ha de tomar valores no negativos, luego $x\ge -1$; y, por lo que se refiere al tercer término, es claro que sólo podremos aceptar los valores no negativos de la función $x^2-1$, es decir, los que sean menores o iguales que $-1$ y los que sean mayores o iguales que $1$. De todo ello, compatibilizando todos estos requerimientos, deducimos que $x\ge 1$, y por tanto en la solución estará compuesta por valores mayores o iguales que $1$.

Procedamos ahora a realizar las operaciones algebraicas que nos llevarán, poco a poco, a encontrar dicha solución. Sumando $-1$ en cada miembro:
  $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4-1$
    $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=3$
      $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)(x+1)}=3$
        $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=3 \quad (1)$
Sumando $1$ en cada miembro:
  $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4+1$
    $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=5$
      $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)\,(x+1)}=5$
        $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=5 \quad (2)$
Denotemos, por comodidad de manipulación algebraica: $u:=\sqrt{x-1}$ y $v:=\sqrt{x+1}$, con lo cual, $(1)$ y $(2)$ pueden escribirse de la forma:
      $u^2+u+v+u\,v=3 \quad (1')$
      $v^2+u+v+u\,v=5 \quad (2')$
Restando $(1')$ de $(2')$, miembro a miembro, obtenemos:
      $v^2-u^2=5-3$, esto es,
        $(v-u)\,(v+u)=2 \quad (3)$
Sumando $(1')$ y $(2')$, miembro a miembro, se llega a:
      $v^2-u^2=5-3$, esto es,
        $u^2+v^2+2u+2v+2u\,v=8$
lo que es lo mismo que
        $(u+v)^2-2u\,v+2u+2v+2u\,v=8$
y simplificando,
        $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$
Resolviendo esta ecuación cuadrática en la variable $u+v$, con el propósito de hallar las raíces del polinomio del primer miembro y, a partir de las mismas factorizarlo, vemos que
        $u+v=\dfrac{-2\pm \sqrt{4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ -4\end{matrix}\right.$
con lo cual $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$ puede escribirse de la forma $(a+b-2)(a+b-(-4))=0 \quad (4)$ y, por tanto, deducimos que $a+b=2 \quad (4')$ ó (no necesariamente exlusivamente) $a+b=-4 \quad (4'')$
Sustituyendo $(4')$ en $(3)$, nos encontramos con que $2\,(v-u)=2$, es decir, $v-u=1$; y teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$, podemos escribir:
  $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1$
    $\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-1}$
      $(\sqrt{x+1})^2=(1+\sqrt{x-1})^2$
        $x+1=1^2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$
          $x+1=1+2\,\sqrt{x-1}+x-1$
            $1=2\,\sqrt{x-1}$
              $\dfrac{1}{2}=\sqrt{x-1}$
                $(\dfrac{1}{2})^2=(\sqrt{x-1})^2$
                  $\dfrac{1}{4}=x-1$
                    $\dfrac{1}{4}+1=x$
                      $x=\dfrac{5}{4}$, que, como puede verse, es mayor que $1$, tal como debe ser; ya tenemos pues un valor de la solución, $x=\dfrac{5}{4}$, pero podría haber más. Veámoslo:
Sustituyendo $(4'')$ en $(3)$, nos encontramos con que $-4\,(v-u)=2$, luego $v-u=-\dfrac{1}{2}$; y, como hemos hecho antes, teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$:
  $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=-\dfrac{1}{2}$
    $\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2}$
      $(\sqrt{x+1})^2=(\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2})^2$
        $x+1=(\sqrt{x-1})^2-2\cdot \dfrac{1}{2}\,\sqrt{x-1}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$
          $x+1=x-1-\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{4}$
            $2-\dfrac{1}{4}=-\sqrt{x-1}$
              $\dfrac{7}{4}=-\sqrt{x-1}$, con lo cual $0 \le \sqrt{x-1}=-\dfrac{7}{4} \le 0$, luego ésto, que es lo que quedaba por hacer, vemos que no conduce a ningún otro valor de la solución.
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En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $\dfrac{5}{4}$. $\diamond$

Una ecuación (no algebraica) bien curiosa

Me he encontrado con la siguiente ecuación $x^x=x$, siendo $\mathbb{R} \ni x \neq 0 $. Voy a entretenerme a resolver esta ecuación y, de paso, a apuntar una interesante generalización de la solución de dicha ecuación a otras que tienen la misma forma pero que son un poco más complicadas a la hora de analizarlas.

Mediante un sencillo ensayo de prueba y error, vemos que tanto $1$ como $-1$ satisfacen la igualdad; sin embargo, ¿consta la solución de más valores además de estos dos? Voy a resolver la ecuación, paso a paso, para demostrar que no hay más valores en las solución que éstos. Primero, nos conviene escribir la ecuación de manera equivalente como $x^x-x=0$. Entonces, como $x\neq 0$, sólo caben dos posibilidades, que $x$ sea un número positivo o bien que sea un número negativo:

1. Si $x\gt 0$, al ser $x\neq 0$, únicamente puede anular el primer miembro de la ecuación el segundo factor; entonces $x^x-x=0 \Rightarrow x\,(x^{x-1}-1)=0$, luego $x^{x-1}-1=0$, esto es $x^{x-1}=1$, que puede expresarse de la forma $x^{x-1}=x^0 \Rightarrow x-1=0$, con lo cual encontramos un primer valor para la solución $x_1=1$, que podemos comprobar sustituyendo en la ecuación, para ver que se cumple la igualda numérica: $1^{1}=1$, que es igual al valor del segundo miembro.
2. Si $x\lt 0$, entonces $-x\gt 0 \therefore -x^{-x}-(-x)=0$, ecuación que podemos estudiar de la misma manera que en el caso anterior, es decir, $-x^{-x}+x=0$ luego $x\,(-x^{-x-1}+1)=0 \Rightarrow -x^{-x-1}+1)=0$, habida cuenta de que el primer factor, $-x$, no es nulo, luego $-x^{-x-1}=-1$, y por tanto $x^{-x-1}=1$, que puede expresarse de la forma $x^{-x-1}=x^0 \Rightarrow -x-1=0$, entonces la solución consta de un segundo valor: $x_2=-1$. En efecto, si substituimos en la ecuación se cumple la igualda numérica: $-1^{-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$, que es igual al valor del segundo miembro.

-oOo- Observación (generalización): En general, y siempre que $x\neq 0$, puede comprobarse que para cualquier ecuación de la forma $\displaystyle x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}=x$, los únicos valores que forman la solución en $\mathbb{R}$ son los números enteros $-1$ y $1$. Ésto se puede hacer, por ejemplo, realizando la gráfica de la función $\displaystyle f(x)=x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}-x$ a partir de la elaboración de una tabla de valores —os sugiero que utilicéis una hoja de cálculo— para observar que, al visualizar la gráfica, los (únicos) dos puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas son los que tienen esos valores por abscisas. Y, desde luego, si substituimos uno y otro valor en la ecuación, es muy fácil comprobar que se cumple la igualdad numérica que corresponde a la igualdad algebraica $\displaystyle x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}=x$. Tambíen, os recomiendo —como curiosidad— que utilicéis alguna herramienta de cálculo simbólico (CAS) como por ejemplo WolframAlpha (el enlace dirige a la petición de resolución automática de una ecuación de este tipo) y, así, contrastar de una manera alternativa lo que se acaba de concluir. $\diamond$