Raíces reales y complejas de un polinomio

En el siguiente ejercicio voy a calcular todas las raíces (ya sean reales o complejas) del polinomio $P(x):=x^6-(x-1)^6$, siendo $x \in \mathbb{R}$. Observemos que, al imponer la condición necesaria de existencia de raíces de un polinomio, nos encontramos con la siguiente ecuación: $x^6-(x-1)^6=0$, siendo en realidad una ecuación polinómica de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades de cada una de ellas), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese) de la manera que ya se ya estudiado con anterioridad, y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x-1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x-1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x-1)^3\right)\left(x^3+(x-1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x-1)) (x^2+x(x-1)+(x-1)^2) (x+(x-1)) (x^2-x(x-1)+(x-1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $1\cdot (3x^2-3x+1)(2x-1)(x^2-x+1)=0 \Leftrightarrow$
            $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\dfrac{3\pm i\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2-x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-(-1) \pm i\,\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
Éstas son pues las cinco raíces del polinomio pedido: $$\{\dfrac{1}{2}, \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{6}, \dfrac{3 - i\sqrt{3}}{6} \}$$ $\diamond$