Soluciones reales y complejas de ciertas ecuaciones polinómicas. Raíces reales y complejas de un polinomio

En este ejercicio, similar al anterior, nos proponemos encontrar todos los valores, reales o complejos, que componen la solución: $$(x-1)^3=-1$$

Recordemos que nuestro objetivo es escribir la ecuación original de manera que en un miembro tengamos un polinomio factorizado y en el otro miembro cero; de esta manera, pretendemos encontrar las raíces de dicho polinomio de una manera secilla. Dichas raíces son las soluciones de la ecuación planteada. Para facilitar la factorización, también en este ejercicio utilizaremos identidades notables; en concreto, $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$, que, como veremos, se adecúa al tipo de situación con la que nos encontraremos.

$(x-1)^3=-1$
  $(x-1)^3+1=0$
    $(x-1)^3+1^3=0$
    Empleando la identidad $(1)$, con $a:=x-1$ y $b:=1$, podemos escribir:
      $\left((x-1)+1\right)\,\left((x-1)^2-1\cdot (x-1)+1^2 \right)=0$
        $x\,(x^2-3x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=0 \\ x^2-3x+3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$
Así pues, la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{0, \dfrac{3- i\,\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{3}}{2}\}$$ $\diamond$