Un ejercicio de aplicación sobre rectas en el plano: deducción de las fórmulas para convertir una temperatura expresada en grados Celsius a la correpondiente temperatura expresada en grados Fahrenheit

En este artículo, y a modo de ejercicio de aplicación sobre (rectas en el plano), voy a ver qué relación hay entre estas dos escalas de temperatura. Para ello, y teniendo en cuenta que la relación entre las dos es de proporcionalidad, basta con tener en cuenta dos puntos, el de congelación y el de ebullición del agua (en condiciones normales de presión atmosférica): la temperatura de congelación del agua es de $0^\circ\,\text{C}$, que corresponde a $32^\circ\,\text{F}$, y el de ebullición es de $100^\circ\,\text{C}$, que corresponde a $212^\circ\,\text{F}$.

He representado gráficamente estos dos puntos, $A(0,21)$ y $B(100,212)$, y he dibujado la recta que pasa por sendos puntos (existe proporcionalidad entre una escala y otra) en la gráfica de la Fig. 1

Hecho ésto, bastará ahora determinar la ecuación de dicha recta. Para ello, designaré la variable independiente cuyos valores se representan en el eje de abscisas por $x$ (temperaturas expresadas en grados Celsius), y la variable dependiente por $y$ (temperaturas expresadas en grados Fahrenheit), cuyos valores se representan en el eje de ordenadas. Escribiré directamente la ecuación de la recta en forma continua, y, a partir de ésta, se podrá despejar una u otra variable, según convenga. Siendo $P(x,y)$ un punto genérico de la recta, podemos pues escribir:

$$\dfrac{x-0}{100-0}=\dfrac{y-32}{212-32}$$ que, simplificando, es lo mismo que $$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y-32}{9}$$

Así que, despejando $y$, se llega a

$$y=\dfrac{9}{5}\,x+32$$ ecuación que podemos emplear para, a partir de la temperatura expresada en grados Celsius, calcular dicha temperatura expresada en grados Fahrenheit, que, para que sea más fácil de manejar, suele emplearse $F$ en lugar de $y$ y $C$ en lugar de $x$: $$F=\dfrac{9}{5}\,C+32$$

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Observación 1:
De la relación anterior, notemos que para que en la escala Fahrenheit aparezcan valores negativos deberá cumplirse que $\dfrac{9}{5}\,C+32 \lt 0$, esto es, si $C \lt -\dfrac{5}{9}\cdot 32 \approx -18^\circ\,\text{C}$

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Por otra parte, despejando $x$, se llega a

$$x=\dfrac{5}{9}\,(y-32)$$ ecuación que podemos emplear para, a partir de la temperatura expresada en grados Fahrenheit, calcular dicha temperatura expresada en grados Celsius, que, para mayor claridad, reescribimos de la forma: $$C=\dfrac{5}{9}\,(F-32)$$

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Observación 2:
De la relación anterior, notemos que para que en la escala Celsius aparezcan valores negativos deberá cumplirse que $\dfrac{5}{9}\,(F-32) \lt 0$, esto es, y como cabe esperar echando un vistazo a la gráfica, si $C \lt 32^\circ\,\text{F}$

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