En las ecuaciones con términos no polinómicos, como la del ejemplo que nos ocupa en este artículo, deberemos hacer las transformaciones algebraicas necesarias para llegar a una ecuación polinómica, que, en principio, supondremos que sabemos resolver; sin embargo, bien pudiera ser que no todos los valores solución de dicha ecuación a la que hemos ido a parar sean también valores solución de la ecuación original. Por tal motivo, siempre deberemos comprobar los valores solución de la ecuación polinómica que resolvamos, sustituyéndolos en la ecuación original para ver si se cumple la igualdad numérica correspondiente. Lo siguiente es un claro ejemplo:
$x+\sqrt{x-1}=1$
$x-1+\sqrt{x-1}=1-1$
$x-1+\sqrt{x-1}=0$
Denotemos $a:=\sqrt{x-1}$, con lo cual $x-1=a^2$. Entonces,
$a^2+a=0$
$a\,(a+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=0 \Rightarrow \sqrt{x-1}=0 \Leftrightarrow x_1=1 \\ a=-1 \Rightarrow \sqrt{x-1}=-1 \Leftrightarrow \left(\sqrt{x-1}\right)^2=(-1)^2 \Leftrightarrow x-1=1 \Leftrightarrow x_2=2 \end{matrix}\right.$
Vemos pues que la ecuación polinómica que hemos obtenido al hacer las transformaciones algebraicas consta de dos valores en su solución: $x_1=1$ y $x_2=2$. Veamos ahora &madash;paso importantísimo— si también son solución de la ecuación original:
Probemos con $x_1=1$:
$1+\sqrt{1-1}\overset{?}{=}1$
$1+\sqrt{0}\overset{?}{=}1$
$1+0\overset{?}{=}1$
Como el valor del primer miembro es $1$, que coincide con el del segundo miembro, podemos afirmar que $1$ forma parte de la solución de la ecuación original $x+\sqrt{x-1}=1$.
Probemos ahora con $x_1=2$:
$1+\sqrt{2-1}\overset{?}{=}1$
$1+\sqrt{1}\overset{?}{=}1$
$1+1\neq 1$
Cláramente, el valor del primer miembro, que es $2$, no coincide con eel valor del segundo miembro, que es $1$; por consiguiente, podemos afirmar que $2$ no forma parte de la solución de la ecuación original $x+\sqrt{x-1}=1$.
En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $1$. $\diamond$
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