Una demostración del teorema del seno

Sea un triángulo general en el plano $\triangle(ABC)$ tal como se muestra en la figura. Voy a justificar en este artículo el teorema del seno, que dice así: $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a}=\dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b}=\dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c}$$

Comencemos trazando dos de las tres alturas del triángulo, $i$ y $j$, como indico en la siguiente figura:

Como puede verse, se forman dos triángulos rectángulos: $\triangle(FAB)$ y $\triangle(CAG)$. Entonces, del triángulo rectángulo $\triangle{FAB}$ se tiene que $i=a\,\sin\,\widehat{BCF}$, y teniendo en cuenta que $\widehat{BCF}=\widehat{BCA}$, podemos escribir $$i=a\,\sin\,\widehat{BCA} \quad (1.1)$$ Por otra parte, del triángulo $\triangle{FAB}$ se tiene que $i=c\,\sin\,\widehat{FAB}$, y como $\widehat{FAB}=\widehat{CAB}$, podemos escribir $$i=c\,\sin\,\widehat{CAB} \quad (1.2)$$ Así pues, de $(1.1)$ y $(1.2)$ podemos escribir $$a\,\sin\,\widehat{BCA}=c\,\sin\,\widehat{CAB}$$ y por tanto $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c} \quad (1.3) $$

Bien, ahora, examinando el triángulo rectángulo $\triangle{CBG}$ se tiene que $j=a\,\sin\,\widehat{CBG}$, y como $\widehat{CBG}=\pi-\widehat{ABC}$, podemos escribir $$j=a\,\sin\,(\pi-\widehat{ABC})=a\,\sin\,\widehat{ABC} \quad (2.1)$$ Por otra parte, del triángulo $\triangle{CAG}$ se tiene que $j=b\,\sin\,\widehat{CAG}$, y como $\widehat{CAG}=\widehat{CAB}$, podemos escribir $$j=c\,\sin\,\widehat{CAB} \quad (2.2)$$ Así pues, de $(2.1)$ y $(2.2)$ tenemos que $$a\,\sin\,\widehat{ABC}=b,\sin\,\widehat{CAB}$$ con lo cual $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b}\quad (2.3)$$ en consecuencia, de esta relación $(2.3)$ y de la relación $(1.3)$ concluimos que $$\dfrac{\sin\,\widehat{CAB}}{a} = \dfrac{\sin\,\widehat{ABC}}{b} = \dfrac{\sin\,\widehat{BCA}}{c} \quad (3)$$

Nota:
En la mayoría de libros de texto, se utiliza la siguiente notación equivalente para los ángulos interiores del triángulo: $\alpha:= \widehat{CAB}$, $\beta:= \widehat{ABC}$ y $\gamma:=\widehat{BCA}$, por lo que también podemos expresar $(3)$ de una forma acaso algo más cómoda (es cuestión de gustos): $$\dfrac{\sin\,\alpha}{a} = \dfrac{\sin\,\beta}{b} = \dfrac{\sin\,\gamma}{c} $$

Observación:
La triple igualdad deducida, que es igual a una constante $k$, lleva también a la que se deduce de la mimsa, teniendo en cuenta que los inversos de las fracciones también serán iguales, a $\dfrac{1}{k}$: $$\dfrac{a}{\sin\,\widehat{CAB}} = \dfrac{b}{\sin\,\widehat{ABC}} = \dfrac{c}{\sin\,\widehat{BCA}} \quad (4)$$ y, desde luego, también podemos escribirla con la notación alternativa que he comentado en la nota de arriba: $$\dfrac{a}{\sin\,\alpha} = \dfrac{b}{\sin\,\beta} = \dfrac{c}{\sin\,\gamma}$$

Comentario:
Tanto este teorema del seno como el teorema del coseno (del que he hablado en otros artículos) tienen sus versiones en trigonometría esférica, que trata de la resolución de triángulos sobre la superficie de una esfera (triángulos esféricos). No trataré aquí esta extensión, pero hago hincapié en el hecho de que tanto en la versión plana como en la versión esférica, la importancia de estos dos resultados es enorme en múltiples áreas: física, ingeniería, astronomía, etcétera. En el blog de segundo de bachillerato he dedicado un espacio para la introducción de la trigonometría esférica, que podéis consultar siguiendo este enlace.

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