¿Cómo se puede justificar la afirmación de que el polinomio $P(x)=x^2+x+1$ no tiene raíces y que por tanto es un polinomio primo, sin recurrir a dibujar la gráfica del mismo?
Veamos que signo toma el polinomio sea cuál sea el valor de la variable independiente. Si $x\gt 0$, es evidente que $P(x)>0$; en el caso de que $x=0$, $P(0)=0+1\gt 0$; y, si $x\lt 0$, es claro que $x^2+x\gt 0$, pues de ser $|x|\gt 1$, $x^2\gt |x|$, con lo cual $x^2+x\gt 0$ y por tanto $x^2+x+1\gt 0$, y si $|x|\lt 1$, $x^2\lt |x|$ y por tanto $-1\lt x^2+x \lt 0$, luego $x^2+x+1\gt 0$. En consecuecia, el valor del polinomio es positivo para todo valor de $x$, luego no existe ningún valor de $x$ para el que el polinomio se anule, es decir, no tiene raíces, luego es un polinomio primo. $\diamond$
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