¿Cómo se puede justificar la afirmación de que el polinomio P(x)=x^2+x+1 no tiene raíces y que por tanto es un polinomio primo, sin recurrir a dibujar la gráfica del mismo?
Veamos que signo toma el polinomio sea cuál sea el valor de la variable independiente. Si x\gt 0, es evidente que P(x)>0; en el caso de que x=0, P(0)=0+1\gt 0; y, si x\lt 0, es claro que x^2+x\gt 0, pues de ser |x|\gt 1, x^2\gt |x|, con lo cual x^2+x\gt 0 y por tanto x^2+x+1\gt 0, y si |x|\lt 1, x^2\lt |x| y por tanto -1\lt x^2+x \lt 0, luego x^2+x+1\gt 0. En consecuecia, el valor del polinomio es positivo para todo valor de x, luego no existe ningún valor de x para el que el polinomio se anule, es decir, no tiene raíces, luego es un polinomio primo. \diamond
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