Un ejercicio con logaritmos

Como ejercicio de manejo algebraico con las propiedades de las potencias, los logaritmos, y las bases de los mismos, en este artículo voy a demostrar que la única solución real de la ecuación $25^{2x}=50$ es $\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}$; y, finalmente, a partir de esta expresión exacta de la solución, calcularé una aproximación decimal de la misma, redondeando a la cuarta cifra decimal.

$25^{2x}=50$
  $\log_{25}\,25^{2x}=\log_{25}\,50$
    $\log_{25}\,25^{2x}=\log_{25}\,(25\cdot 2)$
      $2x\,\log_{25}\,25=\log_{25}\,25+\log_{25}\,2$
        $(2x)\cdot 1=1+\log_{25}\,2$
          $2x=1+\log_{25}\,2$
            $x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \log_{25}\,2$
              $x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,(2)^{\frac{1}{2}}$
                $x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}$
Llegados a este punto (la primera parte ya está resuelta), conviene expresar el logaritmo de base $25$ en función de un logaritmo cuya base esté en nuestra calculadora científica básica (se supone que solamente tenemos a nuestra disposición el logaritmo neperiano y el logaritmo decimal); por ejemplo, el logaritmo neperiano; para ello, démonos cuenta de que (cambio de base logarítmica) $\log_{25}\,\sqrt{2}=\dfrac{\ln\,\sqrt{2}}{\ln\,25}$, por consiguiente:

$$x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln\,\sqrt{2}}{\ln\,25}\overset{\text{calculadora científica}}{\approx} 0,6077$$ $\diamond$