Un caso de un sistema de ecuaciones no lineales y su resolución

En este artículo voy a resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$$\left\{\begin{matrix}x^2-y=1 \\-x+y^2=1\end{matrix}\right.$$

Enumero las ecuaciones para referirme a ellas en la explicación de los pasos de resolución:

$\left\{\begin{matrix}x^2-y=1 & (1)\\-x+y^2=1 & (2)\end{matrix}\right.$
Restando miembro a miembro $(2)$ de $(1)$,
  $x^2-y^2-y+x=0$
    $(x-y)(x+y)+(x-y)=0$
      $(x-y)\left((x+y)+1\right)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=0 \Rightarrow x=y & (3) \\ x+y+1=0 \Rightarrow x+y=-1 & (4)\end{matrix}\right.$
Sumando miembro a miembro $(2)$ y $(1)$,
  $(x^2+y^2)-(x+y)=2$
    $\left((x+y)^2-2xy\right)-(x+y)=2 \quad (5)$

De $(3)$ y $(5)$ se obtiene:
  $\left((2x)^2-2x^2\right)-2x=2$
    $4x^2-2x^2-2x=2$
      $2x^2-2x-2=0$
        $x^2-x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-1)}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
Sacamos pues de ahí dos pares $(x,y)$ de la solución: $\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$ y $\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$

Por otra parte, de $(4)$ y $(5)$ llegamos a:
  $\left((-1)^2-2xy\right)-(-1)=2$
    $1-2xy+1=2$
      $2-2xy=2$
        $-2xy=0$
          $xy=0 \quad (6)$
Ahora bien, como $x+y+1=0$ (ecuación $(4)$), multiplicando por $x$ en cada miembro, podemos escribirla de la forma $x^2+xy+x=0$, pero teniendo en cuenta $(6)$ se tiene que $x^2+x=0$, esto es,
  $x\,(x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \overset{(4)}{\Rightarrow} 0+y=-1 \Rightarrow y=-1 \\ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \overset{(4)}{\Rightarrow} -1+y=-1 \Rightarrow y=0 \end{matrix}\right.$
Así que, de ahí, aparecen otros dos pares más $(x,y)$ de la solución: $\left(0,-1\right)$ y $\left(-1,0\right)$. $\diamond$